Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Montrer que deux droites sont parallèles

Méthode 1

En utilisant les arguments

On peut démontrer que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles en utilisant les arguments.

Soient les points A, B, C et D d'affixes respectives :

zA=1+2i, zB=4+3i, zC=8i, zD=23i

Déterminer si les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si (AB;CD)=kπ, k.

Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si (AB;CD)=kπ, k.

Etape 2

Expliciter la condition

On a :

(AB;CD)=arg(zDzCzBzA)

On en déduit que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si arg(zDzCzBzA)=kπ, k.

Finalement, on en conclut que (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si le complexe zDzCzBzA est un réel.

Or, on sait que :

(AB;CD)=arg(zDzCzBzA)

Donc les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si arg(zDzCzBzA)=kπ, k, c'est-à-dire si et seulement si zDzCzBzA.

Etape 3

Calculer le complexe zDzCzBzA

On calcule le complexe zDzCzBzA.

On a :

zDzCzBzA=23i(8i)4+3i(1+2i)

zDzCzBzA=62i3+i

zDzCzBzA=(62i)(3i)32+12

zDzCzBzA=18+6i6i+2i232+12

zDzCzBzA=2010

Finalement :

zDzCzBzA=2

Etape 4

Conclure

Si le nombre complexe obtenu est réel, on conclut au parallélisme des deux droites.

On a bien :

zDzCzBzA

Ainsi :

arg(zDzCzBzA)=kπ, k

On en conclut que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Méthode 2

En montrant que les deux vecteurs sont colinéaires

Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles lorsque les vecteurs AB et CD sont colinéaires.

Soient les points A, B, C et D d'affixes respectives :

zA=3i, zB=4+3i, zC=3+3i, zD=115i

Déterminer si les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles lorsque les vecteurs AB et CD sont colinéaires.

(AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB=kCD, avec k, c'est-à-dire si et seulement si zAB=kzCD, avec k.

Etape 2

Calculer les coordonnées des vecteurs

On calcule les affixes de AB et CD.

On a :

  • zAB=zBzA=4+3i(3i)=4+3+3i+i=7+4i
  • zCD=zDzC=115i(3+3i)=1135i3i=148i
Etape 3

Conclure

On montre que AB=kCD. On conclut quant à la colinéarité des deux vecteurs et donc au parallélisme des deux droites.

On remarque que zCD=2zAB.

On a donc CD=2AB. On en déduit que les vecteurs AB et CD sont colinéaires.

Ainsi, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

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