Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Déterminer une mesure d'un angle à l'aide des complexes

Méthode 1

Calculer une mesure de (AB;CD)

Afin de déterminer une mesure de l'angle (AB;CD), on détermine un argument de zDzCzBzA.

Soient les points A et B d'affixes respectives zA=1+i et zB=1+i.

Soit O l'origine du repère.

Calculer une mesure de (OA;OB).

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que :

(AB;CD)=arg(zDzCzBzA)+2kπ, k

On sait que :

(OA;OB)=arg(zBzOzAzO)+2kπ, k

Etape 2

Calculer le complexe zDzCzBzA

On écrit zDzCzBzA sous forme algébrique afin de déterminer sa partie réelle et sa partie imaginaire.

Or, on a :

zBzOzAzO=1+i01+i0

zBzOzAzO=(1+i)(1i)(1+i)(1i)

zBzOzAzO=1+i+i+112+12

zBzOzAzO=2i2

Finalement :

zBzOzAzO=i

Etape 3

Calculer le module de zDzCzBzA

On calcule ||||zDzCzBzA|||| en utilisant la forme algébrique du complexe.

On détermine le module de ce complexe :

||||zBzOzAzO||||=|i|

||||zBzOzAzO||||=02+12

||||zBzOzAzO||||=1

Etape 4

Déterminer un argument de zDzCzBzA et conclure

On peut ensuite déterminer arg(zDzCzBzA). On en déduit une mesure de l'angle (AB;CD).

On pose θ=arg(zDzCzBzA).

On sait que :

  • cosθ=01=0
  • sinθ=11=1

Donc, à l'aide du cercle trigonométrique et des valeurs de cos et sin des angles remarquables, on en déduit que :

θ=π2+2kπ, k

Finalement :

(OA;OB)=π2+2kπ, k

Méthode 2

Calculer une mesure de (u;AB)

Dans le repère (O;u;v), afin de déterminer une mesure de l'angle (u;AB), on détermine un argument de (zBzA).

Soit le repère (O;u;v).

Soient les points A et B d'affixes respectives zA=3+5i et zB=5+3i.

Calculer une mesure de (u;AB).

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que :

(u;AB)=arg(zBzA)+2kπ, k

On sait que :

(u;AB)=arg(zBzA)+2kπ, k

Etape 2

Calculer le complexe zBzA

On écrit zBzA sous forme algébrique afin de déterminer sa partie réelle et sa partie imaginaire.

Or, on a :

zBzA=5+3i(3+5i)

zBzA=5+3i35i

zBzA=22i

Etape 3

Calculer le module de zBzA

On calcule ||zBzA|| en utilisant la forme algébrique du complexe.

On en déduit que :

||zBzA||=|22i|

||zBzA||=22+(2)2

||zBzA||=22

Etape 4

Déterminer un argument de zBzA et conclure

On peut ensuite déterminer arg(zBzA).

On en déduit une mesure de l'angle (u;AB).

On pose θ=arg(zBzA).

On a :

  • cosθ=222=22
  • sinθ=222=22

Donc, à l'aide du cercle trigonométrique et des valeurs de cos et sin des angles remarquables, on en déduit que :

θ=π4+2kπ, k

Finalement :

(u;AB)=π4+2kπ, k

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