Sommaire
Méthode 1Calculer une mesure de \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) 1Réciter le cours 2Calculer le complexe \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} 3Calculer le module de \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} 4Déterminer un argument de \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} et conclureMéthode 2Calculer une mesure de \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right) 1Réciter le cours 2Calculer le complexe z_B-z_A 3Calculer le module de z_B-z_A 4Déterminer un argument de z_B-z_A et conclure Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020
Calculer une mesure de \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right)
Afin de déterminer une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right), on détermine un argument de \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}.
Soient les points A et B d'affixes respectives z_A = 1+i et z_B = -1+i.
Soit O l'origine du repère.
Calculer une mesure de \left(\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB}\right).
Réciter le cours
On rappelle que :
\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) +2k\pi, k\in \mathbb{Z}
On sait que :
\left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right) = arg\left(\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O}\right) +2k\pi, k\in\mathbb{Z}
Calculer le complexe \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}
On écrit \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} sous forme algébrique afin de déterminer sa partie réelle et sa partie imaginaire.
Or, on a :
\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} = \dfrac{-1+i-0}{1+i-0}
\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} = \dfrac{\left(-1+i\right)\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}
\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} = \dfrac{-1+i+i+1}{1^2+1^2}
\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} = \dfrac{2i}{2}
Finalement :
\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} = i
Calculer le module de \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}
On calcule \left| \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right| en utilisant la forme algébrique du complexe.
On détermine le module de ce complexe :
\left| \dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} \right| = \left| i \right|
\left| \dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} \right| =\sqrt {0^2+1^2}
\left| \dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} \right| =1
Déterminer un argument de \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} et conclure
On peut ensuite déterminer arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right). On en déduit une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right).
On pose \theta =arg\left(\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} \right).
On sait que :
- \cos \theta = \dfrac{0}{1} = 0
- \sin \theta = \dfrac{1}{1} = 1
Donc, à l'aide du cercle trigonométrique et des valeurs de cos et sin des angles remarquables, on en déduit que :
\theta = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}
Finalement :
\left(\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB}\right)= \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}
Calculer une mesure de \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right)
Dans le repère \left(O; \overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v}\right), afin de déterminer une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right), on détermine un argument de \left(z_B-z_A\right).
Soit le repère \left(O; \overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v}\right).
Soient les points A et B d'affixes respectives z_A = 3+5i et z_B = 5+3i.
Calculer une mesure de \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{AB}\right).
Réciter le cours
On rappelle que :
\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right) = arg\left(z_B-z_A\right) +2k\pi, k\in\mathbb{Z}
On sait que :
\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right) = arg\left(z_B-z_A\right) +2k\pi, k\in\mathbb{Z}
Calculer le complexe z_B-z_A
On écrit z_B-z_A sous forme algébrique afin de déterminer sa partie réelle et sa partie imaginaire.
Or, on a :
z_B-z_A = 5+3i-\left(3+5i\right)
z_B-z_A = 5+3i-3-5i
z_B-z_A = 2-2i
Calculer le module de z_B-z_A
On calcule \left| z_B-z_A \right| en utilisant la forme algébrique du complexe.
On en déduit que :
\left| z_B-z_A \right| = \left| 2-2i \right|
\left| z_B-z_A \right| = \sqrt{2^2+\left(-2\right)^2}
\left| z_B-z_A \right| = 2\sqrt{2}
Déterminer un argument de z_B-z_A et conclure
On peut ensuite déterminer arg\left(z_B-z_A \right).
On en déduit une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right).
On pose \theta =arg\left(z_B-z_A \right).
On a :
- \cos \theta = \dfrac{2}{2\sqrt 2} = \dfrac{\sqrt 2}{2}
- \sin \theta = \dfrac{-2}{2\sqrt 2} = -\dfrac{\sqrt 2}{2}
Donc, à l'aide du cercle trigonométrique et des valeurs de cos et sin des angles remarquables, on en déduit que :
\theta =- \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}
Finalement :
\left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{AB}\right)= -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}