Terminale S 2016-2017

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Isoler la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe

L'écriture algébrique d'un nombre complexe z est de la forme \(\displaystyle{z = a+ib}\), avec \(\displaystyle{a \in \mathbb{R}}\) et \(\displaystyle{b \in \mathbb{R}}\). La partie réelle de z est a et sa partie imaginaire est b.

Identifier la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe suivant :

\(\displaystyle{z= \dfrac{3+i}{i-4}}\)

Etape 1

Enlever éventuellement les i du dénominateur

Si le nombre complexe est sous la forme d'un quotient de deux nombres complexes dont le dénominateur n'est pas un réel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Ainsi, si \(\displaystyle{z = \dfrac{a+ib}{c+id}}\), on multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\displaystyle{\overline{c+id}= c-id}\).

D'où :

\(\displaystyle{z = \dfrac{a+ib}{c+id} \times \dfrac{c-id}{c-id}}\)

On utilise ensuite le fait que :

\(\displaystyle{\left(c+id\right)\left(c-id\right) = c^2+d^2}\)

On obtient donc une expression de la forme :

\(\displaystyle{z = \dfrac{\left(a+ib\right)\left(c-id\right)}{c^2+d^2}}\)

Lorsque l'on détermine le conjugué du dénominateur, on vérifie que l'expression est notée dans le bon sens.

Le conjugué de \(\displaystyle{2+i}\) est \(\displaystyle{2-i}\).

Le conjugué de \(\displaystyle{i-3}\) est \(\displaystyle{-i-3}\).

On rappelle que \(\displaystyle{\left(a+ib\right)\left(a-ib\right) =a^2+b^2}\).

Le conjugué de \(\displaystyle{i-4}\) est \(\displaystyle{-i-4}\).

On a donc :

\(\displaystyle{z= \dfrac{3+i}{i-4}\times \dfrac{-i-4}{-i-4}}\)

Or :

\(\displaystyle{\left(i-4\right)\left(-i-4\right)=1^2+4^2= 1+16=17}\)

On obtient :

\(\displaystyle{z= \dfrac{\left(3+i\right)\left(-i-4\right)}{17}}\)

Etape 2

Développer puis simplifier l'expression

On utilise le fait que \(\displaystyle{i^2 = -1}\).

On simplifie alors l'expression après l'avoir développée.

On développe l'expression de z :

\(\displaystyle{z= \dfrac{\left(3+i\right)\left(-i-4\right)}{17}}\)

D'où :

\(\displaystyle{z= \dfrac{-3i-12-i^2-4i}{17}}\)

Et, comme \(\displaystyle{i^2=-1}\), on obtient :

\(\displaystyle{z= \dfrac{-11-7i}{17}}\)

Etape 3

Séparer la partie réelle et la partie imaginaire

On sépare les éléments qui sont facteurs de i et ceux qui ne le sont pas. On obtient une expression de la forme \(\displaystyle{z =A+iB}\), où A et B sont des réels.

On a alors :

  • \(\displaystyle{Re\left(z\right) = A }\)
  • \(\displaystyle{Im\left(z\right) = B}\)

Le i ne fait pas partie de la partie imaginaire. La partie imaginaire est un réel.

On isole les deux parties. On obtient :

\(\displaystyle{z = -\dfrac{11}{17} -\dfrac{7i}{17}}\)

Ainsi :

  • \(\displaystyle{Re\left(z\right) = -\dfrac{11}{17}}\)
  • \(\displaystyle{Im\left(z\right)=-\dfrac{7}{17}}\)
Chapitre 10 Les nombres complexes
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