Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Montrer que deux droites sont perpendiculaires

Deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si (AB;CD)=π2+kπ, k.

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives :

zA=1+i ; zB=1+3i ; zC=4+3i et zD=7

Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si (AB;CD)=π2+kπ, k.

(AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si (AB;CD)=π2+kπ, k.

Etape 2

Expliciter la condition

Etant donné que :

(AB;CD)=arg(zDzCzBzA),

(AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si arg(zDzCzBzA)=π2+kπ ; k.

Cela revient à montrer que le complexe zDzCzBzA est un imaginaire pur.

Or, on sait que :

(AB;CD)=arg(zDzCzBzA)

Ainsi, (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si arg(zDzCzBzA)=π2+kπ, k.

On cherche donc à montrer que zDzCzBzA est un imaginaire pur.

Etape 3

Calculer le complexe zDzCzBzA

On calcule zDzCzBzA et on simplifie son expression.

zDzCzBzA=7(4+3i)1+3i(1+i)=33i2+2i

D'où :

zDzCzBzA=33i2+2i

zDzCzBzA=33i2+2i×22i22i

zDzCzBzA=66i6i+6i24+4

Finalement :

zDzCzBzA=128i=32i

Etape 4

Conclure

Si le complexe obtenu est un imaginaire pur, on conclut que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

zDzCzBzA=32i. Donc zDzCzBzA est un imaginaire pur.

Ainsi, les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

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