Terminale S 2016-2017

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Passer d'une forme à l'autre dans les complexes

Méthode 1

Passer de la forme algébrique aux formes trigonométrique et exponentielle

Afin de déterminer une forme exponentielle ou une forme trigonométrique d'un nombre complexe écrit sous sa forme algébrique \(\displaystyle{z=a+ib}\), on doit calculer le module et un argument de z.

On considère le nombre complexe suivant :

\(\displaystyle{z =1-i}\)

Ecrire z sous forme trigonométrique.

Etape 1

Identifier \(\displaystyle{Re\left(z\right)}\) et \(\displaystyle{Im\left(z\right)}\)

On écrit z sous sa forme algébrique \(\displaystyle{z =a+ib}\). On identifie :

  • \(\displaystyle{a = Re\left(z\right)}\)
  • \(\displaystyle{b = Im\left(z\right)}\)

Ici, on a :

\(\displaystyle{z=1-i}\)

On en déduit que :

  • \(\displaystyle{Re\left(z\right) = 1 }\)
  • \(\displaystyle{Im\left(z\right) =-1}\)
Etape 2

Calculer le module de z

On a \(\displaystyle{\left| z \right| = \sqrt{a^2+b^2}}\). On calcule et on simplifie le module.

On a donc :

\(\displaystyle{\left| z \right| = \sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}\)

\(\displaystyle{\left| z \right| = \sqrt{2}}\)

Etape 3

Déterminer un argument de z

Soit \(\displaystyle{\theta}\), un argument de z. On sait que :

  • \(\displaystyle{\cos \theta = \dfrac{a}{\left| z \right|}}\)
  • \(\displaystyle{sin\theta = \dfrac{b}{\left| z \right|}}\)

On s'aide alors du cercle trigonométrique ainsi que des cos et sin des angles classiques pour déterminer une valeur de \(\displaystyle{\theta}\).

Soit \(\displaystyle{\theta}\), un argument de z.

On sait que :

  • \(\displaystyle{\cos \theta = \dfrac{a}{\left| z \right|}}\)
  • \(\displaystyle{sin\theta = \dfrac{b}{\left| z \right|}}\)

Donc, ici :

  • \(\displaystyle{\cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt2}= \dfrac{\sqrt2}{2}}\)
  • \(\displaystyle{sin\theta = \dfrac{-1}{\sqrt2}= -\dfrac{\sqrt2}{2}}\)

À l'aide du cercle trigonométriques et des valeurs de cos et sin des angles classiques, on obtient :

\(\displaystyle{\theta = -\dfrac{\pi}{4}+2k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\)

Etape 4

Donner la forme voulue de z

  • Une forme trigonométrique de z est \(\displaystyle{z = \left| z \right|\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)}\).
  • Une forme exponentielle de z est \(\displaystyle{z = \left| z \right|e^{i\theta}}\).

On en déduit que :

\(\displaystyle{z = \sqrt 2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + i\;\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)}\)

Méthode 2

Passer d'une forme trigonométrique ou exponentielle à la forme algébrique

Si un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique \(\displaystyle{z = \left| z \right|\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)}\) ou sous forme exponentielle \(\displaystyle{z = \left| z \right|e^{i\theta}}\), on peut retrouver sa forme algébrique.

On considère le nombre complexe suivant :

\(\displaystyle{z = 2e^{i\frac{4\pi}{3}}}\)

Déterminer la forme algébrique de z.

Etape 1

Identifier le module et un argument de z

Selon la forme donnée en énoncé, on a au choix :

  • \(\displaystyle{z = \left| z \right|\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)}\)
  • \(\displaystyle{z = \left| z \right|e^{i\theta}}\)

On identifie le module \(\displaystyle{\left| z \right|}\) de z et un argument \(\displaystyle{\theta}\) de z.

Ici, on a

  • \(\displaystyle{\left| z \right| = 2}\)
  • \(\displaystyle{\theta = \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\)
Etape 2

Calculer a et b

On rappelle que :

  • \(\displaystyle{a = \left| z \right| \cos \theta}\)
  • \(\displaystyle{b = \left| z \right| \sin \theta}\)

On calcule \(\displaystyle{\cos \theta }\) et \(\displaystyle{\sin \theta}\) afin de déterminer a et b.

On sait que :

  • \(\displaystyle{a = \left| z \right| \cos \theta}\)
  • \(\displaystyle{b = \left| z \right| \sin \theta}\)

Donc, ici :

\(\displaystyle{a =2 \cos \left(\dfrac{4\pi}{3}\right)}\)

\(\displaystyle{a =2 \cos \left(\pi +\dfrac{\pi}{3}\right)}\)

\(\displaystyle{a =2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1}\)

Et :

\(\displaystyle{b =2 \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)}\)

\(\displaystyle{b =2 \sin\left(\pi +\dfrac{\pi}{3}\right)}\)

\(\displaystyle{b =-2 \times \dfrac{\sqrt 3}{2} = -\sqrt 3}\)

Etape 3

Conclure

On en conclut la forme algébrique de z qui est de la forme \(\displaystyle{z=a+ib}\).

La forme algébrique de z est donc :

\(\displaystyle{z =-1-i\sqrt 3}\)

L'écriture des formes exponentielle et trigonométrique nécessite uniquement la connaissance du module et d'un argument de z. On peut donc très simplement passer de la forme exponentielle à la forme trigonométrique, et inversement.

Si une forme exponentielle de z est :

\(\displaystyle{z=3e^{i\frac{\pi}{3}}}\)

Alors une forme trigonométrique de z est :

\(\displaystyle{z=3\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)}\)

Chapitre 10 Les nombres complexes
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