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Retrouver une forme trigonométrique ou exponentielle

Parfois, un nombre complexe est écrit sous une forme qui ressemble aux formes exponentielle et trigonométrique, mais qui n'en est pas une (en général à cause du signe "-" placé devant le module, le cos ou le sin). Pour retrouver une forme correcte, on peut mettre le complexe sous sa forme algébrique avant de déterminer son module et un argument.

Ecrire le nombre complexe z suivant sous forme trigonométrique :

\(\displaystyle{z = 4\left(\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right) - i \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)}\)

Etape 1

Identifier que la forme n'est pas exponentielle ou trigonométrique

On sait que :

  • Une forme trigonométrique d'un complexe s'écrit : \(\displaystyle{z = \left| z \right| \left(\cos \theta\right)+isin \left(\theta\right)}\) avec \(\displaystyle{\left| z\right| \in\mathbb{R}^+}\), et \(\displaystyle{\theta \in\mathbb{R}}\).
  • Une forme exponentielle d'un complexe s'écrit : \(\displaystyle{z = \left| z \right| e^{i\theta}}\) avec \(\displaystyle{\left| z\right| \in\mathbb{R}^+}\), et \(\displaystyle{\theta \in\mathbb{R}}\).

La forme n'est pas trigonométrique ou exponentielle si :

  • Un signe "-" apparaît avant le module, le sin ou le cos
  • Un i apparaît avant le module ou avant le cos

On remarque le signe "-" avant le sinus dans l'expression de z. On en déduit que z n'est pas écrit sous forme trigonométrique.

Etape 2

Écrire z sous forme algébrique

On écrit le nombre complexe sous forme algébrique.

On détermine la forme algébrique de z. On a :

\(\displaystyle{z = 4\left(\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right) - i \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)}\)

Or :

  • \(\displaystyle{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt 2 }{2}}\)
  • \(\displaystyle{\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt 2 }{2}}\)

On en déduit que :

\(\displaystyle{z = 4\left(\dfrac{\sqrt 2}{2} - i\dfrac{\sqrt 2}{2} \right)}\)

D'où :

\(\displaystyle{z = 2\sqrt 2- i2\sqrt 2}\)

Etape 3

Déterminer le module et un argument de z

On détermine ensuite le module et un argument de z.

On calcule le module de z :

\(\displaystyle{\left| z \right| = \sqrt{\left(2\sqrt2\right)^2+\left(-2\sqrt2\right)^2}}\)

\(\displaystyle{\left| z \right| = \sqrt{8+8}}\)

\(\displaystyle{\left| z \right| = 4}\)

Soit \(\displaystyle{\theta'}\), un argument de z. On sait que :

  • \(\displaystyle{\cos \theta' = \dfrac{a}{\left| z \right|}}\)
  • \(\displaystyle{sin\theta' = \dfrac{b}{\left| z \right|}}\)

Donc, ici :

  • \(\displaystyle{\cos \theta' = \dfrac{2\sqrt2}{4}= \dfrac{\sqrt2}{2}}\)
  • \(\displaystyle{sin\theta '= \dfrac{-2\sqrt2}{4}= -\dfrac{\sqrt2}{2}}\)

À l'aide du cercle trigonométrique et des valeurs de cos et sin des angles classiques, on obtient :

\(\displaystyle{\theta' = -\dfrac{\pi}{4}+2k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\)

Etape 4

Écrire z sous la forme trigonométrique ou exponentielle

On écrit selon ce qui est demandé :

  • Une forme trigonométrique \(\displaystyle{z = \left| z \right|\left(\cos \theta' + i \sin \theta'\right)}\)
  • Une forme exponentielle \(\displaystyle{z = \left| z \right|e^{i\theta'}}\)

On en déduit que :

\(\displaystyle{z = 4\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + i\;\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)}\)

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