Sommaire
Méthode 1En utilisant les arguments 1Réciter le cours 2Expliciter la condition 3Calculer le complexe \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} 4ConclureMéthode 2En montrant que les deux vecteurs sont colinéaires 1Réciter le cours 2Calculer les coordonnées des vecteurs 3Conclure Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020
En utilisant les arguments
On peut démontrer que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles en utilisant les arguments.
Soient les points A, B, C et D d'affixes respectives :
z_A = 1+2i, z_B= 4+3i, z_C = 8-i, z_D = 2-3i
Déterminer si les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Réciter le cours
On rappelle que deux droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement si \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD}\right)=k\pi, k\in\mathbb{Z}.
Les deux droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement si \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD}\right)=k\pi, k\in\mathbb{Z}.
Expliciter la condition
On a :
\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}\right)= arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)
On en déduit que deux droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement si arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) = k\pi, k\in\mathbb{Z}.
Finalement, on en conclut que \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement si le complexe \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} est un réel.
Or, on sait que :
\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}\right)= arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)
Donc les deux droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement si arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) =k\pi, k\in\mathbb{Z}, c'est-à-dire si et seulement si \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}.
Calculer le complexe \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}
On calcule le complexe \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}.
On a :
\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{2-3i-\left(8-i\right)}{4+3i-\left(1+2i\right)}
\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{-6-2i}{3+i}
\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{\left(-6-2i\right)\left(3-i\right)}{3^2+1^2}
\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{-18+6i-6i+2i^2}{3^2+1^2}
\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{-20}{10}
Finalement :
\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} =-2
Conclure
Si le nombre complexe obtenu est réel, on conclut au parallélisme des deux droites.
On a bien :
\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}
Ainsi :
arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) =k\pi, k\in\mathbb{Z}
On en conclut que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
En montrant que les deux vecteurs sont colinéaires
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles lorsque les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.
Soient les points A, B, C et D d'affixes respectives :
z_A = -3-i, z_B= 4+3i, z_C = 3+3i, z_D = -11-5i
Déterminer si les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Réciter le cours
On rappelle que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles lorsque les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.
\left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement si \overrightarrow{AB}=k \overrightarrow{CD}, avec k \in \mathbb{R}, c'est-à-dire si et seulement si z_{\overrightarrow{AB}}=k z_{\overrightarrow{CD}}, avec k \in \mathbb{R}.
Calculer les coordonnées des vecteurs
On calcule les affixes de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD}.
On a :
- z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=4+3i-\left(-3-i\right)=4+3+3i+i=7+4i
- z_{\overrightarrow{CD}}=z_D-z_C=-11-5i-\left(3+3i\right)=-11-3-5i-3i=-14-8i
Conclure
On montre que \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{CD}. On conclut quant à la colinéarité des deux vecteurs et donc au parallélisme des deux droites.
On remarque que z_{\overrightarrow{CD}}=-2z_{\overrightarrow{AB}}.
On a donc \overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}. On en déduit que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.
Ainsi, les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles.