Montrer que deux droites sont parallèles

Méthode 1

En utilisant les arguments

On peut démontrer que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles en utilisant les arguments.

Soient les points A, B, C et D d'affixes respectives :

\(\displaystyle{z_A = 1+2i}\), \(\displaystyle{z_B= 4+3i}\), \(\displaystyle{z_C = 8-i}\), \(\displaystyle{z_D = 2-3i}\)

Déterminer si les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que deux droites \(\displaystyle{\left(AB\right)}\) et \(\displaystyle{\left(CD\right)}\) sont parallèles si et seulement si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD}\right)=k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\).

Les deux droites \(\displaystyle{\left(AB\right)}\) et \(\displaystyle{\left(CD\right)}\) sont parallèles si et seulement si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD}\right)=k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\).

Etape 2

Expliciter la condition

On a :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}\right)= arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)}\)

On en déduit que deux droites \(\displaystyle{\left(AB\right)}\) et \(\displaystyle{\left(CD\right)}\) sont parallèles si et seulement si \(\displaystyle{ arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) = k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\).

Finalement, on en conclut que \(\displaystyle{\left(AB\right)}\) et \(\displaystyle{\left(CD\right)}\) sont parallèles si et seulement si le complexe \(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}\) est un réel.

Or, on sait que :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}\right)= arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) }\)

Donc les deux droites \(\displaystyle{\left(AB\right)}\) et \(\displaystyle{\left(CD\right)}\) sont parallèles si et seulement si \(\displaystyle{ arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) =k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\), c'est-à-dire si et seulement si \(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}}\).

Etape 3

Calculer le complexe \(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}\)

On calcule le complexe \(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}\).

On a :

\(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{2-3i-\left(8-i\right)}{4+3i-\left(1+2i\right)}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{-6-2i}{3+i}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{\left(-6-2i\right)\left(3-i\right)}{3^2+1^2}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{-18+6i-6i+2i^2}{3^2+1^2}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{-20}{10}}\)

Finalement :

\(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} =-2}\)

Etape 4

Conclure

Si le nombre complexe obtenu est réel, on conclut au parallélisme des deux droites.

On a bien :

\(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}}\)

Ainsi :

\(\displaystyle{ arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) =k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\)

On en conclut que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Méthode 2

En montrant que les deux vecteurs sont colinéaires

Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles lorsque les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{CD}}\) sont colinéaires.

Soient les points A, B, C et D d'affixes respectives :

\(\displaystyle{z_A = -3-i}\), \(\displaystyle{z_B= 4+3i}\), \(\displaystyle{z_C = 3+3i}\), \(\displaystyle{z_D = -11-5i}\)

Déterminer si les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles lorsque les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{CD}}\) sont colinéaires.

\(\displaystyle{\left(AB\right)}\) et \(\displaystyle{\left(CD\right)}\) sont parallèles si et seulement si \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}=k \overrightarrow{CD}}\), avec \(\displaystyle{k \in \mathbb{R}}\), c'est-à-dire si et seulement si \(\displaystyle{z_{\overrightarrow{AB}}=k z_{\overrightarrow{CD}}}\), avec \(\displaystyle{k \in \mathbb{R}}\).

Etape 2

Calculer les coordonnées des vecteurs

On calcule les affixes de \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{CD}}\).

On a :

\(\displaystyle{z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=4+3i-\left(-3-i\right)=4+3+3i+i=7+4i}\)
\(\displaystyle{z_{\overrightarrow{CD}}=z_D-z_C=-11-5i-\left(3+3i\right)=-11-3-5i-3i=-14-8i}\)

Etape 3

Conclure

On montre que \(\displaystyle{\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{CD}}\). On conclut quant à la colinéarité des deux vecteurs et donc au parallélisme des deux droites.

On remarque que \(\displaystyle{z_{\overrightarrow{CD}}=-2z_{\overrightarrow{AB}}}\).

On a donc \(\displaystyle{\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}}\). On en déduit que les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{CD}}\) sont colinéaires.

Ainsi, les droites \(\displaystyle{\left(AB\right)}\) et \(\displaystyle{\left(CD\right)}\) sont parallèles.