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Montrer que deux droites sont perpendiculaires

Deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = \dfrac{\pi}{2} +k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\).

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives :

\(\displaystyle{z_A = -1+i }\) ; \(\displaystyle{z_B = 1+3i}\) ; \(\displaystyle{z_C = 4+3i}\) et \(\displaystyle{z_D =7}\)

Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = \dfrac{\pi}{2} +k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\).

\(\displaystyle{\left(AB\right)}\) et \(\displaystyle{\left(CD\right)}\) sont perpendiculaires si et seulement si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = \dfrac{\pi}{2} +k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\).

Etape 2

Expliciter la condition

Etant donné que :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) =arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)}\),

(AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si \(\displaystyle{arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)= \dfrac{\pi}{2} +k\pi}\) ; \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\).

Cela revient à montrer que le complexe \(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}\) est un imaginaire pur.

Or, on sait que :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) =arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)}\)

Ainsi, \(\displaystyle{\left(AB\right)}\) et \(\displaystyle{\left(CD\right)}\) sont perpendiculaires si et seulement si \(\displaystyle{arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)= \dfrac{\pi}{2} +k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\).

On cherche donc à montrer que \(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}\) est un imaginaire pur.

Etape 3

Calculer le complexe \(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}\)

On calcule \(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}\) et on simplifie son expression.

\(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{7-\left(4+3i\right)}{1+3i-\left(-1+i\right)} = \dfrac{3-3i}{2+2i} }\)

D'où :

\(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{3-3i}{2+2i} }\)

\(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{3-3i}{2+2i} \times \dfrac{2-2i}{2-2i}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{6-6i-6i+6i^2}{4+4} }\)

Finalement :

\(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = -\dfrac{12}{8} i= -\dfrac{3}{2} i}\)

Etape 4

Conclure

Si le complexe obtenu est un imaginaire pur, on conclut que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

\(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = -\dfrac{3}{2} i}\). Donc \(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}\) est un imaginaire pur.

Ainsi, les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

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