Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Reconnaître une équation de cercle

Le cercle de centre A d'affixe z=a+ib et de rayon R est (xa)2+(yb)2=R2.

On considère l'équation suivante :

x2+y22x+4y=20

Montrer que cette équation est celle d'un cercle et déterminer son centre et son rayon.

Etape 1

Se ramener à une équation du type x2+ax+y2+by+c=0

On simplifie afin de se ramener à une équation de la forme x2+ax+y2+by+c=0.

Si les coefficients de x2 et y2 ne sont pas les mêmes, ce n'est pas une équation de cercle.

On passe tous les termes du même côté et on regroupe les termes en x et en y. L'équation devient :

x22x+y2+4y20=0

Etape 2

Faire apparaître les identités remarquables

On fait apparaître les identités remarquables.

On a :

  • x, x22x=x22×x+11=(x1)21
  • y, y2+4y=y2+2×y×2+44=(y+2)24

L'équation devient donc :

(x1)21+(y+2)2420=0

Etape 3

Isoler les constantes dans le membre de droite

On isole les constantes dans le membre de droite.

En isolant les constantes, on obtient :

(x1)2+(y+2)2=25

Etape 4

Conclure

Si le membre de droite est positif, on reconnaît une équation de cercle de centre O(xO+iyO) et de rayon r de la forme :

(xxO)2+(yyO)2=r2

Si le membre de droite est négatif, il ne s'agit pas d'une équation de cercle.

L'équation est donc de la forme :

(x1)2+(y+2)2=52

On reconnaît l'équation du cercle de centre O(12i) et de rayon r=5.

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