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Reconnaître une équation de cercle

Le cercle de centre A d'affixe \(\displaystyle{z=a+ib}\) et de rayon R est \(\displaystyle{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2 =R^2}\).

On considère l'équation suivante :

\(\displaystyle{x^2+y^2-2x+4y = 20}\)

Montrer que cette équation est celle d'un cercle et déterminer son centre et son rayon.

Etape 1

Se ramener à une équation du type \(\displaystyle{x^2+ax+y^2+by+c = 0}\)

On simplifie afin de se ramener à une équation de la forme \(\displaystyle{x^2+ax+y^2+by+c = 0}\).

Si les coefficients de \(\displaystyle{x^2}\) et \(\displaystyle{y^2}\) ne sont pas les mêmes, ce n'est pas une équation de cercle.

On passe tous les termes du même côté et on regroupe les termes en x et en y. L'équation devient :

\(\displaystyle{x^2-2x+y^2+4y -20 = 0}\)

Etape 2

Faire apparaître les identités remarquables

On fait apparaître les identités remarquables.

On a :

  • \(\displaystyle{\forall x \in\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{x^2-2x = x^2-2\times x +1-1 = \left(x-1\right)^2-1}\)
  • \(\displaystyle{\forall y \in\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{y^2+4y = y^2+2 \times y \times 2 +4-4 = \left(y+2\right) ^2 -4}\)

L'équation devient donc :

\(\displaystyle{\left(x-1\right)^2-1+\left(y+2\right)^2-4 -20 = 0}\)

Etape 3

Isoler les constantes dans le membre de droite

On isole les constantes dans le membre de droite.

En isolant les constantes, on obtient :

\(\displaystyle{\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=25}\)

Etape 4

Conclure

Si le membre de droite est positif, on reconnaît une équation de cercle de centre \(\displaystyle{O\left(x_O+iy_O\right)}\) et de rayon r de la forme :

\(\displaystyle{\left(x-x_O\right)^2+\left(y-y_O\right)^2 = r^2}\)

Si le membre de droite est négatif, il ne s'agit pas d'une équation de cercle.

L'équation est donc de la forme :

\(\displaystyle{\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=5^2}\)

On reconnaît l'équation du cercle de centre \(\displaystyle{O\left(1-2i\right)}\) et de rayon \(\displaystyle{r = 5}\).

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