Les suites Cours

Sommaire

IEtude globale d'une suiteALes suites majorées, minorées, bornéesBLe sens de variationCSuites arithmétiques et géométriques1Suites arithmétiques2Suites géométriquesIILimitesALimite finie ou infinieBLes suites convergentesCOpérations sur les limitesDComparaison et encadrementELimite monotoneIIILe raisonnement par récurrence
I

Etude globale d'une suite

A

Les suites majorées, minorées, bornées

Suite majorée

La suite \left(u_{n}\right) est majorée si et seulement s'il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :

u_{n} \leq M

Soit \left( u_n \right) la suite définie par :

\forall n \in\mathbb{N^*}, u_n=\dfrac1n

Pour tout entier naturel non nul n, on a :

\dfrac1n\leq1

La suite \left( u_n \right) est donc majorée par 1.

Suite minorée

La suite \left(u_{n}\right) est minorée si et seulement s'il existe un réel m tel que, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :

u_{n} \geq m

Soit \left( u_n \right) la suite définie par :

\forall n \in\mathbb{N^*}, u_n=\dfrac1n

Pour tout entier naturel non nul n, on a :

\dfrac1n\geq0

La suite \left( u_n \right) est donc minorée par 0.

Suite bornée

La suite \left(u_{n}\right) est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.

La suite \left( u_n \right) définie pour tout entier naturel non nul n par u_n=\dfrac1n est à la fois minorée par 0 et majorée par 1.

Elle est donc bornée et on peut écrire :

\forall n \in\mathbb{N}^*,0\leq u_n\leq1

B

Le sens de variation

Suite croissante

La suite \left(u_{n}\right) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :

u_{n+1} \geq u_{n}

Considérons la suite \left(u_n \right) définie par son premier terme u_0=12 et par, pour tout entier naturel n :

u_{n+1}=\left( u_n \right)^2+u_n

On a, pour tout entier naturel n :

u_{n+1}-u_n=\left( u_n \right)^2

Or, pour tout entier naturel n :

\left(u_n \right)^2\geq0

Ainsi, pour tout entier naturel n :

u_{n+1}-u_n\geq0

Donc, pour tout n :

u_{n+1}\geq u_n

Donc la suite \left(u_n \right) est croissante.

Suite décroissante

La suite \left(u_{n}\right) est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :

u_{n+1} \leq u_{n}

Considérons la suite définie pour tout entier naturel non nul par :

u_n=\dfrac1n

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac1n=\dfrac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}

Or, pour tout entier naturel n non nul :

\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}\leqslant0

Ainsi, pour tout entier naturel n non nul :

u_{n+1}-u_n\leq0

Soit, pour tout entier naturel n non nul :

u_{n+1}\leq u_n

Par conséquent la suite \left( u_n\right) est décroissante.

Suite constante

La suite \left(u_{n}\right) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :

u_{n+1} = u_{n}

Suite monotone

La suite \left(u_{n}\right) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens de variation).

C

Suites arithmétiques et géométriques

1

Suites arithmétiques

Suite arithmétique

Une suite \left(u_{n}\right) est arithmétique si et seulement s'il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n pour lequel elle est définie :

u_{n+1} = u_{n} + r

r est alors la raison de la suite arithmétique.

On considère la suite définie par : \begin{cases}u_0=1\\u_{n+1}=u_n-2, \text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.

Cette suite est donc arithmétique de raison −2.

Soit \left(u_n\right) une suite arithmétique de raison r.

  • Si r\gt0, la suite est strictement croissante.
  • Si r\lt0, la suite est strictement décroissante.
Terme général d'une suite arithmétique

Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique de raison r, définie à partir du rang p.

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

u_{n} = u_{p} + \left(n - p\right) r

En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

u_{n} = u_{0} + nr

Soit \left(u_n\right) une suite arithmétique de raison r=-2 et de premier terme u_0=3.

On a, pour tout entier naturel n :

u_n=3-2n

Somme des termes d'une suite arithmétique

Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique. La somme S des termes consécutifs de cette suite est égale à :

S=\dfrac{\left(\text{Nombre de termes}\right)\times \left(\text{Premier terme}+\text{Dernier terme}\right) }{2}

En particulier :

u_{0} + u_{1} + u_{2} +... + u_{n} =\dfrac{\left(n + 1\right) \left(u_{0} + u_{n}\right)}{2}

Soit \left( u_n \right) une suite arithmétique de raison r=8 et de premier terme u_0=16.

On a donc, pour tout entier naturel n :

u_n=16+8n

On souhaite calculer la somme suivante :

S=u_0+u_1+u_2+\cdot\cdot\cdot+u_{25}

On a :

S=\dfrac{\left(25+1\right)\left(u_0+u_{25}\right)}{2}=\dfrac{26\times\left(16+16+8\times25\right)}{2}=3\ 016

Le nombre de termes entre les entiers naturels a et b vaut \left(b-a+1\right).

On souhaite calculer :

S=u_3+u_4+...+u_9

Entre 3 et 9, il y a 9-3+1=7 termes.

2

Suites géométriques

Suite géométrique

Une suite \left(u_{n}\right) est géométrique si et seulement s'il existe un réel q tel que, pour tout entier n pour lequel elle est définie :

u_{n+1} = u_{n} \times q

q est alors appelé raison de la suite.

On considère la suite définie par son premier terme u_0=1 et par, pour tout entier naturel n :

u_{n+1} = 3u_{n}

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.

Cette suite est donc géométrique de raison 3.

Soit q un réel strictement positif, et la suite \left( u_n \right) définie pour tout entier naturel n par u_n=q^n.

  • Si q\gt1, la suite \left( u_n \right) est strictement croissante.
  • Si 0\lt q\lt1, la suite \left( u_n \right) est strictement décroissante.
  • Si q=1, la suite \left( u_n \right) est constante.
Terme général d'une suite géométrique

Soit \left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p. Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

u_{n} = u_{p} \times q^{n-p}

En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

Soit \left(u_n\right) une suite géométrique de raison q=2 et de premier terme u_0=3.

On a alors, pour tout entier naturel n :

u_n=3\times2^n

Somme des termes d'une suite géométrique

Soit \left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q \neq 1. La somme S des termes consécutifs de cette suite vaut :

S=\text{Premier terme}\times\dfrac{1-q^{\text{Nombre de termes}}}{1-q}

En particulier, si la suite est définie dès le rang 0, alors, pour tout entier naturel n :

u_{0} + u_{1} + u_{2} +... + u_{n} = u_{0}\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

Soit \left( u_n \right) une suite géométrique de raison q=5 et de premier terme u_0=4.

On souhaite calculer la somme suivante :

S=u_0+u_1+u_2+\cdot\cdot\cdot+u_{25}

On a :

S=u_0\times \dfrac{1-q^{25+1}}{1-q}=4\times\dfrac{1-5^{26}}{1-5}=5^{26}-1

II

Limites

A

Limite finie ou infinie

La limite d'une suite ne peut être étudiée qu'en + \infty .

Limite finie

\left(u_{n}\right) tend vers le réel L quand n tend vers +\infty si et seulement si tout intervalle ouvert (aussi petit que l'on veut) contenant L contient tous les termes u_{n} à partir d'un certain rang.

Le réel L est appelé limite (finie) de la suite \left(u_{n}\right). On note :

\lim_{n \to +\infty } u_n = L

-

Unicité de la limite

Si elle existe, la limite L de la suite \left(u_{n}\right) est unique.

Suite divergente vers +\infty

\left(u_{n}\right) tend vers +\infty quand n tend vers +\infty si et seulement si pour tout réel A (aussi grand que l'on veut), tous les termes u_{n} sont supérieurs à A à partir d'un certain rang. On note :

\lim_{n \to +\infty } u_n = +\infty

Considérons la suite définie pour tout entier naturel n par :

u_n=3n+4

Soit A un réel quelconque fixé. Pour tout entier naturel n :

u_n\gt A\Leftrightarrow3n+4\gt A\Leftrightarrow n\gt \dfrac{A-4}{3}.

Par conséquent, quel que soit le réel A, il existe toujours un entier n à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l'intervalle \left] A;+\infty \right[.

Donc :

\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty

Suite divergente vers -\infty

\left(u_{n}\right) tend vers -\infty quand n tend vers +\infty si et seulement si pour tout réel A (aussi petit que l'on veut), tous les termes u_{n} sont inférieurs à A à partir d'un certain rang. On note :

\lim_{n \to +\infty } u_n = -\infty

Considérons la suite définie pour tout entier naturel n par :

u_n=-2n+5

Soit A un réel quelconque fixé. On a, pour tout entier naturel n :

u_n\lt A\Leftrightarrow-2n+5\lt A\Leftrightarrow n \gt \dfrac{A-5}{-2}\Leftrightarrow n\gt \dfrac{5-A}{2}

Par conséquent, quel que soit le réel A, il existe toujours un entier n à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l'intervalle \left] -\infty;A\right[.

Donc :

\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty

B

Les suites convergentes

Suite convergente

La suite \left(u_{n}\right) est convergente si et seulement si elle admet une limite finie.

Soit \left(u_{n}\right) la suite définie pour tout entier naturel non nul n par :

u_{n} =\dfrac{1}{n}

On a :

\lim_{n \to +\infty }\dfrac{1}{n}=0

Donc \left(u_{n}\right) est convergente.

Suite convergente bornée

Toute suite convergente est bornée.

Suite divergente

La suite \left(u_{n}\right) est divergente si et seulement si elle n'est pas convergente, c'est-à-dire si sa limite est + \infty ou - \infty ou si elle n'admet pas de limite.

Soit \left(u_{n}\right) la suite définie pour tout entier naturel n par :

u_{n} = \left(- 1\right)^{n}

La suite \left(u_{n}\right) étant alternée (elle prend successivement les valeurs 1, −1, 1, −1, etc.), elle n'admet pas de limite. Elle est divergente.

Limite d'une suite géométrique

Soit un réel q :

  • Si -1 \lt q \lt 1, alors la suite \left(q^n\right) a pour limite 0.
  • Si 1 \lt q, alors la suite \left(q^n\right) a pour limite +\infty .
  • Si q \leq -1, alors la suite \left(q^n\right) n'admet pas de limite.
  • Si q=1, alors la suite \left(q^n\right) a pour limite 1.

\lim_{n \to +\infty } \left( \dfrac14 \right)^n = 0

\lim_{n \to +\infty } 5^n = +\infty

C

Opérations sur les limites

Dans cette sous-partie, L et L' désignent des réels.

Limite d'une somme

Si \left(u_n\right) a pour limite L L L +\infty -\infty +\infty
et si \left(v_n\right) a pour limite L' +\infty -\infty +\infty -\infty -\infty
alors \left(u_n+v_n\right) a pour limite L+L' +\infty -\infty +\infty -\infty ?

Limite d'un produit

Si \left(u_n\right) a pour limite L L\gt 0 L\gt 0 L\lt 0 L\lt0 +\infty +\infty -\infty 0
et si \left(v_n\right) a pour limite L' +\infty -\infty +\infty -\infty +\infty -\infty -\infty +\infty ou -\infty
alors \left(u_n\times v_n\right) a pour limite L\times L' +\infty -\infty -\infty +\infty +\infty -\infty +\infty ?

Le symbole "?" signifie qu'il s'agit d'une forme indéterminée.

Limite d'un quotient

Cas 1

Si la limite de \left(v_n\right) n'est pas nulle

Si \left(u_n\right) a pour limite L L +\infty +\infty -\infty -\infty

+\infty ou -\infty

et si \left(v_n\right) a pour limite L'\neq0 +\infty ou -\infty L'\gt 0 L'\lt 0 L'\gt 0 L'\lt 0 +\infty ou -\infty
alors \left( \dfrac{u_n}{v_n} \right) a pour limite \dfrac{L}{L'} 0 +\infty -\infty -\infty +\infty ?
Cas 2

Si la limite de \left(v_n\right) est nulle

Si \left(u_n\right) a pour limite L\gt0 ou +\infty

L\gt0 ou +\infty

L\lt0 ou -\infty L\lt0 ou -\infty 0
et si \left(v_n\right) a pour limite 0 par valeurs positives 0 par valeurs négatives 0 par valeurs positives 0 par valeurs négatives 0
alors \left( \dfrac{u_n}{v_n} \right) a pour limite +\infty -\infty -\infty +\infty ?

Le symbole "?" signifie qu'il s'agit d'une forme indéterminée.

Il existe 4 formes indéterminées :

" +\infty-\infty " ; " 0\times \infty " ; " \dfrac{\infty}{\infty} " ; " \dfrac00 "

D

Comparaison et encadrement

Suite convergente et minorée

Soit une suite \left(u_{n}\right) convergente vers L et un réel m tels qu'à partir d'un certain rang m \leq u_{n}, alors :

m \leq L

Suite convergente et majorée

Soit une suite \left(u_{n}\right) convergente vers L et un réel M tels qu'à partir d'un certain rang u_{n} \leq M, alors :

L \leq M

Convergence et comparaison

Soient \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) deux suites telles qu'à partir d'un certain rang, u_{n} \leq v_{n}. Si \left(u_{n}\right) converge vers le réel L et \left(v_{n}\right) converge vers le réel L', alors :

L \leq L'

Théorème de comparaison

Soient \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) deux suites telles qu'à partir d'un certain rang, u_{n} \leq v_{n} :

  • Si \lim_{n \to +\infty } u_{n} = + \infty , alors \lim_{n \to +\infty } v_{n} = + \infty
  • Si \lim_{n \to +\infty } v_{n} = - \infty , alors \lim_{n \to +\infty } u_{n} = - \infty

Considérons une suite \left(u_n\right) telle que pour tout entier naturel n :

u_n\geq 3n^2+6

On a :

\lim_{n \to +\infty}\left(3n^2+6\right)=+\infty

Donc par comparaison :

\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty

Théorème des gendarmes ou d'encadrement

Soient \left(u_{n}\right), \left(v_{n}\right) et \left(w_{n}\right) trois suites et soit un entier naturel p.

Si :

  • u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n} pour tout entier n plus grand que p
  • \left(u_{n}\right) et \left(w_{n}\right) convergent vers le même réel L

Alors \left(v_{n}\right) converge également vers L.

Considérons une suite \left(u_n\right) telle que pour tout entier naturel n :

-\dfrac1n \leq u_n\leq \dfrac1n

On a ;

  • \lim_{n \to +\infty}\left(\dfrac1n\right)=0
  • \lim_{n \to +\infty}\left(-\dfrac1n\right)=0

Donc, d'après le théorème des gendarmes, \lim_{n \to +\infty}u_n=0.

E

Limite monotone

Convergence (ou limite) monotone

  • Si une suite est croissante et majorée, alors elle est convergente.
  • Si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente.

Considérons une suite \left(u_n\right) telle que pour tout entier naturel n :

3\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 4

Cette suite est croissante et majorée par 4, donc elle converge vers un réel L\leq 4.

Suites divergentes

  • Toute suite croissante et non majorée diverge vers +\infty .
  • Toute suite décroissante et non minorée diverge vers -\infty .
III

Le raisonnement par récurrence

Raisonnement par récurrence

Pour démontrer par récurrence qu'une propriété est vraie, pour tout entier naturel n à partir du rang k, on procède en trois étapes.

Etape 1

Initialisation

On vérifie que la propriété est vérifiée au premier rang k.

Etape 2

Hérédité

On montre que si la propriété est vérifiée à un certain rang p (p\geq k), elle est alors vérifiée au rang suivant p + 1.

Etape 3

Conclusion

La propriété étant initialisée et héréditaire, est alors vraie pour tout entier naturel supérieur ou égal à k.

Considérons la suite \left(u_n\right) définie par son premier terme u_0=3 et par, pour tout entier naturel n :

u_{n+1}=5u_n-8

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n\geq3.

Etape 1

Initialisation

On a u_0=3

Ainsi, u_0\geq 3, donc la propriété est vraie au rang 0.

Etape 2

Hérédité

Soit un entier naturel p. On suppose que la propriété est vraie au rang p (c'est-à-dire que u_p\geqslant 3 ). Montrons alors qu'elle est également vraie au rang p+1 (c'est-à-dire que u_{p+1}\geqslant 3 )

On a :

u_p\geq3

Soit :

5u_p\geq15

5u_p-8\geq 7

Ou encore :

u_{p+1}\geq7

On a donc bien :

u_{p+1}\geq3

La proposition est donc héréditaire.

Etape 3

Conclusion

La propriété est initialisée et héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel. Ainsi, pour tout entier naturel n :

u_n\geq3