Les suitesCours

I

Etude globale d'une suite

A

Les suites majorées, minorées, bornées

Suite majorée

La suite \left(u_{n}\right) est majorée si et seulement s'il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :

u_{n} \leq M

Soit \left( u_n \right) la suite définie par :

\forall n \in\mathbb{N^*}, u_n=\dfrac1n

Pour tout entier naturel non nul n, on a :

\dfrac1n\leq1

La suite \left( u_n \right) est donc majorée par 1.

Suite minorée

La suite \left(u_{n}\right) est minorée si et seulement s'il existe un réel m tel que, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :

u_{n} \geq m

Soit \left( u_n \right) la suite définie par :

\forall n \in\mathbb{N^*}, u_n=\dfrac1n

Pour tout entier naturel non nul n, on a :

\dfrac1n\geq0

La suite \left( u_n \right) est donc minorée par 0.

Suite bornée

La suite \left(u_{n}\right) est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.

La suite \left( u_n \right) définie pour tout entier naturel non nul n par u_n=\dfrac1n est à la fois minorée par 0 et majorée par 1.

Elle est donc bornée et on peut écrire :

\forall n \in\mathbb{N}^*,0\leq u_n\leq1

B

Le sens de variation

Suite croissante

La suite \left(u_{n}\right) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :

u_{n+1} \geq u_{n}

Considérons la suite \left(u_n \right) définie par son premier terme u_0=12 et par, pour tout entier naturel n :

u_{n+1}=\left( u_n \right)^2+u_n

On a, pour tout entier naturel n :

u_{n+1}-u_n=\left( u_n \right)^2

Or, pour tout entier naturel n :

\left(u_n \right)^2\geq0

Ainsi, pour tout entier naturel n :

u_{n+1}-u_n\geq0

Donc, pour tout n :

u_{n+1}\geq u_n

Donc la suite \left(u_n \right) est croissante.

Suite décroissante

La suite \left(u_{n}\right) est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :

u_{n+1} \leq u_{n}

Considérons la suite définie pour tout entier naturel non nul par :

u_n=\dfrac1n

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac1n=\dfrac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}

Or, pour tout entier naturel n non nul :

\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}\leqslant0

Ainsi, pour tout entier naturel n non nul :

u_{n+1}-u_n\leq0

Soit, pour tout entier naturel n non nul :

u_{n+1}\leq u_n

Par conséquent la suite \left( u_n\right) est décroissante.

Suite constante

La suite \left(u_{n}\right) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :

u_{n+1} = u_{n}

Suite monotone

La suite \left(u_{n}\right) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens de variation).

C

Suites arithmétiques et géométriques

1

Suites arithmétiques

Suite arithmétique

Une suite \left(u_{n}\right) est arithmétique si et seulement s'il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n pour lequel elle est définie :

u_{n+1} = u_{n} + r

r est alors la raison de la suite arithmétique.

On considère la suite définie par : \begin{cases}u_0=1\\u_{n+1}=u_n-2, \text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.

Cette suite est donc arithmétique de raison −2.

Soit \left(u_n\right) une suite arithmétique de raison r.

  • Si r\gt0, la suite est strictement croissante.
  • Si r\lt0, la suite est strictement décroissante.
Terme général d'une suite arithmétique

Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique de raison r, définie à partir du rang p.

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

u_{n} = u_{p} + \left(n - p\right) r

En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

u_{n} = u_{0} + nr

Soit \left(u_n\right) une suite arithmétique de raison r=-2 et de premier terme u_0=3.

On a, pour tout entier naturel n :

u_n=3-2n

Somme des termes d'une suite arithmétique

Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique. La somme S des termes consécutifs de cette suite est égale à :

S=\dfrac{\left(\text{Nombre de termes}\right)\times \left(\text{Premier terme}+\text{Dernier terme}\right) }{2}

En particulier :

u_{0} + u_{1} + u_{2} +... + u_{n} =\dfrac{\left(n + 1\right) \left(u_{0} + u_{n}\right)}{2}

Soit \left( u_n \right) une suite arithmétique de raison r=8 et de premier terme u_0=16.

On a donc, pour tout entier naturel n :

u_n=16+8n

On souhaite calculer la somme suivante :

S=u_0+u_1+u_2+\cdot\cdot\cdot+u_{25}

On a :

S=\dfrac{\left(25+1\right)\left(u_0+u_{25}\right)}{2}=\dfrac{26\times\left(16+16+8\times25\right)}{2}=3\ 016

Le nombre de termes entre les entiers naturels a et b vaut \left(b-a+1\right).

On souhaite calculer :

S=u_3+u_4+...+u_9

Entre 3 et 9, il y a 9-3+1=7 termes.

2

Suites géométriques

Suite géométrique

Une suite \left(u_{n}\right) est géométrique si et seulement s'il existe un réel q tel que, pour tout entier n pour lequel elle est définie :

u_{n+1} = u_{n} \times q

q est alors appelé raison de la suite.

On considère la suite définie par son premier terme u_0=1 et par, pour tout entier naturel n :

u_{n+1} = 3u_{n}

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.

Cette suite est donc géométrique de raison 3.

Soit q un réel strictement positif, et la suite \left( u_n \right) définie pour tout entier naturel n par u_n=q^n.

  • Si q\gt1, la suite \left( u_n \right) est strictement croissante.
  • Si 0\lt q\lt1, la suite \left( u_n \right) est strictement décroissante.
  • Si q=1, la suite \left( u_n \right) est constante.
Terme général d'une suite géométrique

Soit \left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p. Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

u_{n} = u_{p} \times q^{n-p}

En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

Soit \left(u_n\right) une suite géométrique de raison q=2 et de premier terme u_0=3.

On a alors, pour tout entier naturel n :

u_n=3\times2^n

Somme des termes d'une suite géométrique

Soit \left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q \neq 1. La somme S des termes consécutifs de cette suite vaut :

S=\text{Premier terme}\times\dfrac{1-q^{\text{Nombre de termes}}}{1-q}

En particulier, si la suite est définie dès le rang 0, alors, pour tout entier naturel n :

u_{0} + u_{1} + u_{2} +... + u_{n} = u_{0}\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

Soit \left( u_n \right) une suite géométrique de raison q=5 et de premier terme u_0=4.

On souhaite calculer la somme suivante :

S=u_0+u_1+u_2+\cdot\cdot\cdot+u_{25}

On a :

S=u_0\times \dfrac{1-q^{25+1}}{1-q}=4\times\dfrac{1-5^{26}}{1-5}=5^{26}-1

II

Limites

A

Limite finie ou infinie

La limite d'une suite ne peut être étudiée qu'en + \infty .

Limite finie

\left(u_{n}\right) tend vers le réel L quand n tend vers +\infty si et seulement si tout intervalle ouvert (aussi petit que l'on veut) contenant L contient tous les termes u_{n} à partir d'un certain rang.

Le réel L est appelé limite (finie) de la suite \left(u_{n}\right). On note :

\lim\limits_{n \to +\infty } u_n = L

-

Unicité de la limite

Si elle existe, la limite L de la suite \left(u_{n}\right) est unique.

Suite divergente vers +\infty

\left(u_{n}\right) tend vers +\infty quand n tend vers +\infty si et seulement si pour tout réel A (aussi grand que l'on veut), tous les termes u_{n} sont supérieurs à A à partir d'un certain rang. On note :

\lim\limits_{n \to +\infty } u_n = +\infty

Considérons la suite définie pour tout entier naturel n par :

u_n=3n+4

Soit A un réel quelconque fixé. Pour tout entier naturel n :

u_n\gt A\Leftrightarrow3n+4\gt A\Leftrightarrow n\gt \dfrac{A-4}{3}.

Par conséquent, quel que soit le réel A, il existe toujours un entier n à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l'intervalle \left] A;+\infty \right[.

Donc :

\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty

Suite divergente vers -\infty

\left(u_{n}\right) tend vers -\infty quand n tend vers +\infty si et seulement si pour tout réel A (aussi petit que l'on veut), tous les termes u_{n} sont inférieurs à A à partir d'un certain rang. On note :

\lim\limits_{n \to +\infty } u_n = -\infty

Considérons la suite définie pour tout entier naturel n par :

u_n=-2n+5

Soit A un réel quelconque fixé. On a, pour tout entier naturel n :

u_n\lt A\Leftrightarrow-2n+5\lt A\Leftrightarrow n \gt \dfrac{A-5}{-2}\Leftrightarrow n\gt \dfrac{5-A}{2}

Par conséquent, quel que soit le réel A, il existe toujours un entier n à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l'intervalle \left] -\infty;A\right[.

Donc :

\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=-\infty

B

Les suites convergentes

Suite convergente

La suite \left(u_{n}\right) est convergente si et seulement si elle admet une limite finie.

Soit \left(u_{n}\right) la suite définie pour tout entier naturel non nul n par :

u_{n} =\dfrac{1}{n}

On a :

\lim\limits_{n \to +\infty }\dfrac{1}{n}=0

Donc \left(u_{n}\right) est convergente.

Suite convergente bornée

Toute suite convergente est bornée.

Suite divergente

La suite \left(u_{n}\right) est divergente si et seulement si elle n'est pas convergente, c'est-à-dire si sa limite est + \infty ou - \infty ou si elle n'admet pas de limite.

Soit \left(u_{n}\right) la suite définie pour tout entier naturel n par :

u_{n} = \left(- 1\right)^{n}

La suite \left(u_{n}\right) étant alternée (elle prend successivement les valeurs 1, −1, 1, −1, etc.), elle n'admet pas de limite. Elle est divergente.

Limite d'une suite géométrique

Soit un réel q :

  • Si -1 \lt q \lt 1, alors la suite \left(q^n\right) a pour limite 0.
  • Si 1 \lt q, alors la suite \left(q^n\right) a pour limite +\infty .
  • Si q \leq -1, alors la suite \left(q^n\right) n'admet pas de limite.
  • Si q=1, alors la suite \left(q^n\right) a pour limite 1.

\lim\limits_{n \to +\infty } \left( \dfrac14 \right)^n = 0

\lim\limits_{n \to +\infty } 5^n = +\infty

C

Opérations sur les limites

Dans cette sous-partie, L et L' désignent des réels.

Limite d'une somme

Si \left(u_n\right) a pour limite L L L +\infty -\infty +\infty
et si \left(v_n\right) a pour limite L' +\infty -\infty +\infty -\infty -\infty
alors \left(u_n+v_n\right) a pour limite L+L' +\infty -\infty +\infty -\infty ?

Limite d'un produit

Si \left(u_n\right) a pour limite L L\gt 0 L\gt 0 L\lt 0 L\lt0 +\infty +\infty -\infty 0
et si \left(v_n\right) a pour limite L' +\infty -\infty +\infty -\infty +\infty -\infty -\infty +\infty ou -\infty
alors \left(u_n\times v_n\right) a pour limite L\times L' +\infty -\infty -\infty +\infty +\infty -\infty +\infty ?

Le symbole "?" signifie qu'il s'agit d'une forme indéterminée.

Limite d'un quotient

Cas 1

Si la limite de \left(v_n\right) n'est pas nulle

Si \left(u_n\right) a pour limite L L +\infty +\infty -\infty -\infty

+\infty ou -\infty

et si \left(v_n\right) a pour limite L'\neq0 +\infty ou -\infty L'\gt 0 L'\lt 0 L'\gt 0 L'\lt 0 +\infty ou -\infty
alors \left( \dfrac{u_n}{v_n} \right) a pour limite \dfrac{L}{L'} 0 +\infty -\infty -\infty +\infty ?
Cas 2

Si la limite de \left(v_n\right) est nulle

Si \left(u_n\right) a pour limite L\gt0 ou +\infty

L\gt0 ou +\infty

L\lt0 ou -\infty L\lt0 ou -\infty 0
et si \left(v_n\right) a pour limite 0 par valeurs positives 0 par valeurs négatives 0 par valeurs positives 0 par valeurs négatives 0
alors \left( \dfrac{u_n}{v_n} \right) a pour limite +\infty -\infty -\infty +\infty ?

Le symbole "?" signifie qu'il s'agit d'une forme indéterminée.

Il existe 4 formes indéterminées :

" +\infty-\infty " ; " 0\times \infty " ; " \dfrac{\infty}{\infty} " ; " \dfrac00 "

D

Comparaison et encadrement

Suite convergente et minorée

Soit une suite \left(u_{n}\right) convergente vers L et un réel m tels qu'à partir d'un certain rang m \leq u_{n}, alors :

m \leq L

Suite convergente et majorée

Soit une suite \left(u_{n}\right) convergente vers L et un réel M tels qu'à partir d'un certain rang u_{n} \leq M, alors :

L \leq M

Convergence et comparaison

Soient \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) deux suites telles qu'à partir d'un certain rang, u_{n} \leq v_{n}. Si \left(u_{n}\right) converge vers le réel L et \left(v_{n}\right) converge vers le réel L', alors :

L \leq L'

Théorème de comparaison

Soient \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) deux suites telles qu'à partir d'un certain rang, u_{n} \leq v_{n} :

  • Si \lim\limits_{n \to +\infty } u_{n} = + \infty , alors \lim\limits_{n \to +\infty } v_{n} = + \infty
  • Si \lim\limits_{n \to +\infty } v_{n} = - \infty , alors \lim\limits_{n \to +\infty } u_{n} = - \infty

Considérons une suite \left(u_n\right) telle que pour tout entier naturel n :

u_n\geq 3n^2+6

On a :

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(3n^2+6\right)=+\infty

Donc par comparaison :

\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty

Théorème des gendarmes ou d'encadrement

Soient \left(u_{n}\right), \left(v_{n}\right) et \left(w_{n}\right) trois suites et soit un entier naturel p.

Si :

  • u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n} pour tout entier n plus grand que p
  • \left(u_{n}\right) et \left(w_{n}\right) convergent vers le même réel L

Alors \left(v_{n}\right) converge également vers L.

Considérons une suite \left(u_n\right) telle que pour tout entier naturel n :

-\dfrac1n \leq u_n\leq \dfrac1n

On a ;

  • \lim\limits_{n \to +\infty}\left(\dfrac1n\right)=0
  • \lim\limits_{n \to +\infty}\left(-\dfrac1n\right)=0

Donc, d'après le théorème des gendarmes, \lim\limits_{n \to +\infty}u_n=0.

E

Limite monotone

Convergence (ou limite) monotone

  • Si une suite est croissante et majorée, alors elle est convergente.
  • Si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente.

Considérons une suite \left(u_n\right) telle que pour tout entier naturel n :

3\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 4

Cette suite est croissante et majorée par 4, donc elle converge vers un réel L\leq 4.

Suites divergentes

  • Toute suite croissante et non majorée diverge vers +\infty .
  • Toute suite décroissante et non minorée diverge vers -\infty .
III

Le raisonnement par récurrence

Raisonnement par récurrence

Pour démontrer par récurrence qu'une propriété est vraie, pour tout entier naturel n à partir du rang k, on procède en trois étapes.

Etape 1

Initialisation

On vérifie que la propriété est vérifiée au premier rang k.

Etape 2

Hérédité

On montre que si la propriété est vérifiée à un certain rang p (p\geq k), elle est alors vérifiée au rang suivant p + 1.

Etape 3

Conclusion

La propriété étant initialisée et héréditaire, est alors vraie pour tout entier naturel supérieur ou égal à k.

Considérons la suite \left(u_n\right) définie par son premier terme u_0=3 et par, pour tout entier naturel n :

u_{n+1}=5u_n-8

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n\geq3.

Etape 1

Initialisation

On a u_0=3

Ainsi, u_0\geq 3, donc la propriété est vraie au rang 0.

Etape 2

Hérédité

Soit un entier naturel p. On suppose que la propriété est vraie au rang p (c'est-à-dire que u_p\geqslant 3 ). Montrons alors qu'elle est également vraie au rang p+1 (c'est-à-dire que u_{p+1}\geqslant 3 )

On a :

u_p\geq3

Soit :

5u_p\geq15

5u_p-8\geq 7

Ou encore :

u_{p+1}\geq7

On a donc bien :

u_{p+1}\geq3

La proposition est donc héréditaire.

Etape 3

Conclusion

La propriété est initialisée et héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel. Ainsi, pour tout entier naturel n :

u_n\geq3