On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{2+u_n} \end{cases}
Quelle proposition démontre que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2 ?
Montrons par récurrence que \forall n\in\mathbb{N}, 0\leqslant u_n\leqslant2.
Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n=0.
On a u_0=1
Donc 0\leqslant u_0\leqslant2
La propriété est bien vérifiée au rang n=0.
Hérédité
Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)
On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant2
Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :
0\leqslant u_n\leqslant2
2\leqslant u_n+2\leqslant4
Et, comme la fonction x\longmapsto\sqrt{x} est strictement croissante sur \mathbb{R}^+ :
\sqrt{2}\leqslant \sqrt{u_n+2}\leqslant\sqrt{4}
On reconnaît l'expression de u_{n+1} :
\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant 2
0\leqslant u_{n+1}\leqslant 2
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.
\forall n\in\mathbb{N}, 0\leqslant u_n\leqslant2
On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=1- \dfrac{u_n}{4} \end{cases}
Quelle proposition démontre que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant1 ?
Montrons par récurrence que \forall n\in\mathbb{N}, 0\leqslant u_n\leqslant1.
Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n=0.
On a u_0=1
Donc 0\leqslant u_0\leqslant1
La propriété est bien vérifiée au rang n=0.
Hérédité
Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)
On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant1
Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :
0\leqslant u_n\leqslant1
Donc:
0\leqslant\dfrac{u_n}{4}\leqslant \dfrac{1}{4}
-\dfrac{1}{4}\leqslant-\dfrac{u_n}{4}\leqslant 0
1-\dfrac{1}{4}\leqslant1-\dfrac{u_n}{4}\leqslant 1
\dfrac{3}{4}\leqslant u_{n+1}\leqslant 1
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant1.
\forall n\in\mathbb{N}, 0\leqslant u_n\leqslant1
On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\begin{cases} u_0=2 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=3- \dfrac{u_n}{2} \end{cases}
Quelle proposition démontre que pour tout entier naturel n, 1\leqslant u_n\leqslant3 ?
Montrons par récurrence que \forall n\in\mathbb{N}, 1\leqslant u_n\leqslant3.
Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n=0.
On a u_0=2
Donc 1\leqslant u_0\leqslant3
La propriété est bien vérifiée au rang n=0.
Hérédité
Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)
On veut donc démontrer que 1\leqslant u_{n+1}\leqslant3
Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :
1\leqslant u_n\leqslant3
Donc:
\dfrac{1}{2}\leqslant\dfrac{u_n}{2}\leqslant \dfrac{3}{2}
-\dfrac{3}{2}\leqslant-\dfrac{u_n}{2}\leqslant -\dfrac{1}{2}
3-\dfrac{3}{2}\leqslant3-\dfrac{u_n}{2}\leqslant 3 - \dfrac{1}{2}
\dfrac{3}{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac{5}{2}
d'où : 1\leqslant u_{n+1}\leqslant 3
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 1\leqslant u_n\leqslant3.
\forall n\in\mathbb{N}, 1\leqslant u_n\leqslant3
On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=2- \dfrac{u_n}{5} \end{cases}
Quelle proposition démontre que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2 ?
Montrons par récurrence que \forall n\in\mathbb{N}, 0\leqslant u_n\leqslant2.
Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n=0.
On a u_0=1
Donc 0\leqslant u_0\leqslant2
La propriété est bien vérifiée au rang n=0.
Hérédité
Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)
On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant1
Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :
0\leqslant u_n\leqslant2
Donc:
0\leqslant\dfrac{u_n}{5}\leqslant \dfrac{2}{5}
-\dfrac{2}{5}\leqslant-\dfrac{u_n}{5}\leqslant 0
2-\dfrac{2}{5}\leqslant2-\dfrac{u_n}{5}\leqslant 2
\dfrac{8}{5}\leqslant u_{n+1}\leqslant 2
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.
\forall n\in\mathbb{N}, 0\leqslant u_n\leqslant2
On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\begin{cases} u_0=10 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{6+u_n} \end{cases}
Quelle proposition démontre que pour tout entier naturel n, 3\leqslant u_n\leqslant10 ?
Montrons par récurrence que \forall n\in\mathbb{N}, 3\leqslant u_n\leqslant10.
Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n=0.
On a u_0=10
Donc 3\leqslant u_0\leqslant10
La propriété est bien vérifiée au rang n=0.
Hérédité
Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)
On veut donc démontrer que 3\leqslant u_{n+1}\leqslant10
Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :
3\leqslant u_n\leqslant10
En ajoutant 6 à chaque membre de l'inégalité :
9\leqslant u_n+6\leqslant16
Et, comme la fonction x\longmapsto\sqrt{x} est strictement croissante sur \mathbb{R}^+ :
\sqrt{9}\leqslant \sqrt{u_n+6}\leqslant\sqrt{16}
On reconnaît l'expression de u_{n+1} :
3\leqslant u_{n+1}\leqslant 4
Enfin, comme 4\leqslant10, on obtient :
3\leqslant u_{n+1}\leqslant 10
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 3\leqslant u_n\leqslant10.
\forall n\in\mathbb{N}, 3\leqslant u_n\leqslant10
On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\begin{cases} u_0=0 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{1+u_n} \end{cases}
Quelle proposition démontre que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2 ?
Montrons par récurrence que \forall n\in\mathbb{N}, 0\leqslant u_n\leqslant2.
Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n=0.
On a u_0=0
Donc 0\leqslant u_0\leqslant2
La propriété est bien vérifiée au rang n=0.
Hérédité
Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)
On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant2
Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :
0\leqslant u_n\leqslant2
En ajoutant 1 à chaque membre de l'inégalité :
1\leqslant u_n+1\leqslant3
Et, comme la fonction x\longmapsto\sqrt{x} est strictement croissante sur \mathbb{R}^+ :
\sqrt{1}\leqslant \sqrt{u_n+1}\leqslant\sqrt{3}
On reconnaît l'expression de u_{n+1} :
1\leqslant u_{n+1}\leqslant \sqrt{3}
Enfin, comme \sqrt{3}\leqslant2, on obtient :
0\leqslant u_{n+1}\leqslant 2
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.
\forall n\in\mathbb{N}, 0\leqslant u_n\leqslant2
On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\begin{cases} u_0=5 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=-\dfrac{1}{2}u_n +3 \end{cases}
Quelle proposition démontre que pour tout entier naturel n, 0{,}5\leqslant u_n\leqslant5 ?
Montrons par récurrence que \forall n\in\mathbb{N}, 0{,}5\leqslant u_n\leqslant5.
Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n=0.
On a u_0=5
Donc 0{,}5\leqslant u_0\leqslant5
La propriété est bien vérifiée au rang n=0.
Hérédité
Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)
On veut donc démontrer que 0{,}5\leqslant u_{n+1}\leqslant5
Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :
0{,}5\leqslant u_n\leqslant5
-\dfrac{5}{2}\leqslant-\dfrac{1}{2} u_n\leqslant-\dfrac{1}{4}
-\dfrac{5}{2} +3\leqslant-\dfrac{1}{2} u_n +3\leqslant-\dfrac{1}{4} +3
0{,}5\leqslant-\dfrac{1}{2} u_n +3\leqslant 2{,}75
0{,}5\leqslant u_{n+1}\leqslant 2{,}75
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0{,}5\leqslant u_n\leqslant5.
\forall n\in\mathbb{N}, 0{,}5\leqslant u_n\leqslant5