Soit \left(u_n\right) la suite définie par :
\begin{cases} u_0=1 \cr \cr\forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=u_n^2-u_n+2\end{cases}
On suppose que la suite \left(u_n\right) converge vers un réel noté L.
Quelle proposition correspond à une équation vérifiée par L ?
D'après la définition de la suite \left(u_n\right), on a pour tout entier naturel n :
u_{n+1}=u_{n}^2-u_n+2
Comme on suppose que la suite \left(u_n\right) converge vers un réel L, on a :
\lim\limits_{n \to+\infty }u_n=\lim\limits_{n \to+\infty }u_{n+1}=L
En faisant tendre n vers +\infty dans la relation de définition de la suite, on obtient :
L=L^2-L+2
Dans quelle proposition a-t-on déduit de la question précédente que la suite \left(u_n\right) est divergente ?
Supposons que la suite \left(u_n\right) converge vers un réel noté L.
D'après le résultat de la question précédente, on a alors :
L=L^2-L+2
Soit :
L^2-2 L+2=0
On cherche alors les éventuelles racines réelles de ce trinôme du second degré :
\Delta=b^2-4ac=4-8=-4
\Delta<0
Ce trinôme n'admet pas de racine réelle, donc l'équation vérifiée par L n'admet pas de solution réelle.
On suppose que la suite \left(u_n\right) converge et aboutit à une contradiction, on peut donc en conclure :
La suite \left(u_n\right) est divergente.