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  4. Méthode : Lever une indétermination

Lever une indétermination Méthode

Sommaire

Méthode 1En factorisant par le terme de plus haut degré 1Factoriser chaque polynôme par son terme de plus haut degré 2Simplifier les termes factorisés dans le cas d'un quotient de polynômes 3Déterminer la limiteMéthode 2En utilisant la quantité conjuguée 1Multiplier et diviser par la quantité conjuguée 2Développer et réduire le numérateur et le dénominateur 3Déterminer la limiteMéthode 3En utilisant les théorèmes de comparaison 1Majorer ou minorer l'expression par celle d'une autre suite 2Conclure sur la limite à l'aide des théorèmes de comparaisonMéthode 4En utilisant le théorème des gendarmes 1Déterminer un encadrement de l'expression par deux suites de même limite 2Conclure à l'aide du théorème des gendarmes
Méthode 1

En factorisant par le terme de plus haut degré

Pour déterminer la limite d'une suite dont le terme général s'exprime sous la forme u_n=f\left(n\right), où f est une fonction polynôme ou une fonction rationnelle (quotient de fonctions polynômes), on peut rencontrer une des deux formes indéterminées suivantes : \dfrac{\infty}{\infty} et +\infty-\infty. On utilise alors la factorisation par le terme de plus haut degré pour lever l'indétermination.

Soit \left( u_n \right) la suite définie par :

\forall n\in\mathbb{N},\ u_n=\dfrac{n^3+n-1}{3n^3+n^2+2}

Déterminer la limite de la suite \left( u_n \right).

Etape 1

Factoriser chaque polynôme par son terme de plus haut degré

On factorise chaque polynôme par son terme de plus haut degré.

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

u_n=\dfrac{n^3+n-1}{3n^3+n^2+2}

Soit :

u_n=\dfrac{n^3\left(1+\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{n^3}\right)}{n^3\left(3+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^3}\right)}

Etape 2

Simplifier les termes factorisés dans le cas d'un quotient de polynômes

Si le terme général de la suite étudiée est un quotient de polynômes, on peut simplifier le numérateur et le dénominateur en s'intéressant aux termes de plus haut degré par lesquels on vient de factoriser.

En simplifiant numérateur et dénominateur on obtient, pour tout entier naturel n :

u_n=\dfrac{1+\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{n^3}}{3+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^3}}

Etape 3

Déterminer la limite

On détermine la limite de la suite en utilisant les limites usuelles et les opérations sur les limites.

On a :

  • \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^2}=0
  • \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^3}=0

Donc, par somme :

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{n^3}\right)=1

De plus, on a :

  • \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}=0
  • \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{2}{n^3}=0

Donc par somme :

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(3+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^3}\right)=3

Finalement, par quotient :

\lim\limits_{n \to \infty}u_n=\dfrac13

Méthode 2

En utilisant la quantité conjuguée

Cette méthode s'emploie en particulier pour déterminer la limite d'une suite dont le terme général est défini comme somme ou différence de racines carrées.

Soit \left( u_n \right) la suite définie par :

\forall n\in \mathbb{N}^*,\ u_n=\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}

Déterminer la limite de la suite \left( u_n \right).

Etape 1

Multiplier et diviser par la quantité conjuguée

  • Si l'expression est de type \left( a-b \right), on la multiplie et la divise par sa quantité conjuguée \left( a+b \right).
  • Si l'expression est de type \left( a+b \right), on la multiplie et la divise par sa quantité conjuguée \left( a-b \right).

Cette expression présente une forme indéterminée de la forme +\infty-\infty. On multiplie et on divise par la quantité conjuguée. On obtient :

\forall n\in\mathbb{N}^*,u_n=\dfrac{\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\right)\left(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}\right)}{\left(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}\right)}

Etape 2

Développer et réduire le numérateur et le dénominateur

On sait que, pour tous réels a et b :

\left( a-b \right)\left( a+b \right)=a^2-b^2

Ainsi, pour tous réels a et b avec a+b\neq0 :

a-b=\dfrac{\left( a-b \right)\left( a+b \right)}{a+b}=\dfrac{a^2-b^2}{a+b}

On obtient, pour tout n entier naturel non nul :

u_n=\dfrac{n^2+1-\left(n^2-1\right)}{\left(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}\right)}

Soit :

u_n=\dfrac{2}{\left(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}\right)}

Etape 3

Déterminer la limite

Si l'indétermination est levée, on peut déterminer la limite à l'aide des limites usuelles et des règles d'opération. Sinon, il reste à factoriser par les termes de plus haut degré.

Il n'y a plus d'indétermination. On a :

  • \lim\limits_{n \to +\infty}\left(n^2+1\right)=+\infty
  • \lim\limits_{N \to +\infty}\sqrt{N}=+\infty

Par composition :

\lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{n^2+1}=+\infty

De même, on a :

\lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{n^2-1}=+\infty

Ainsi, par somme :

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}\right)=+\infty

Donc par quotient :

\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=0

Méthode 3

En utilisant les théorèmes de comparaison

Pour montrer qu'une suite tend vers l'infini, on peut utiliser les théorèmes de comparaison.

Soit \left( u_n \right) la suite définie par :

\forall n\in\mathbb{N},u_n=n-\sin\left(n^{2}\right)

Déterminer la limite de cette suite.

Etape 1

Majorer ou minorer l'expression par celle d'une autre suite

On essaie de minorer le terme général de la suite par celui d'une autre suite qui tend vers +\infty ou de la majorer par le terme général d'une autre suite qui tend vers -\infty.

Soit n un entier naturel, on a :

\sin\left(n^2\right)\leqslant1

Soit :

-\sin\left(n^2\right)\geqslant -1

En ajoutant n à chaque membre de l'inégalité, on obtient :

n-\sin\left(n^2\right)\geqslant n-1

On remarque que l'on a :

\lim\limits_{n \to \infty} \left(n-1\right) = +\infty

Etape 2

Conclure sur la limite à l'aide des théorèmes de comparaison

On conclut sur la limite de la suite :

  • Si le terme général est minoré par celui d'une suite qui tend vers +\infty, alors la suite tend aussi vers +\infty.
  • Si le terme général est majoré par celui d'une suite qui tend vers -\infty, alors la suite tend aussi vers -\infty.

On a :

  • Pour tout entier naturel n : n-\sin\left(n^2\right)\geqslant n-1
  • \lim\limits_{n \to +\infty} \left(n-1\right) = +\infty

On peut conclure, d'après les théorèmes de comparaison :

\lim\limits_{n \to +\infty}\left[ n-\sin\left(n^2\right) \right]=+\infty

C'est-à-dire :

\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty

Méthode 4

En utilisant le théorème des gendarmes

Pour montrer qu'une suite admet une limite finie, on peut utiliser le théorème des gendarmes.

Déterminer la limite suivante :

\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\sin\left(n\right)}{n}

Etape 1

Déterminer un encadrement de l'expression par deux suites de même limite

On encadre l'expression dont on cherche la limite par celle de deux suites ayant la même limite.

Soit n un entier naturel non nul :

-1 \leqslant \sin\left(n\right) \leqslant 1

En multipliant par \dfrac{1}{n}, qui est strictement positif, on obtient :

-\dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{\sin\left(n\right)}{n} \leqslant \dfrac{1}{n}

On remarque que l'on a :

  • \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}=0
  • \lim\limits_{n \to +\infty}-\dfrac{1}{n}=0
Etape 2

Conclure à l'aide du théorème des gendarmes

On peut conclure grâce au théorème des gendarmes que l'expression admet pour limite celle commune aux deux suites encadrantes.

On sait que :

  • Pour tout entier n strictement positif : -\dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{\sin\left(n\right)}{n} \leqslant \dfrac{1}{n}
  • \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}=0
  • \lim\limits_{n \to +\infty}-\dfrac{1}{n}=0

D'après le théorème des gendarmes, on peut donc conclure :

\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\sin\left(n\right)}{n}=0

Voir aussi
  • Cours : Les suites
  • Quiz : Les suites
  • Exercice : Connaître les caractéristiques des limites infinies de suites
  • Exercice : Connaître les caractéristiques des limites finies de suites
  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'une suite convergente
  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'une suite divergente
  • Exercice : Conjecturer graphiquement si une suite est convergente ou divergente
  • Exercice : Conjecturer graphiquement la limite d'une suite
  • Exercice : Compléter les limites d'une somme de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Déterminer la limite d'une somme de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Compléter les limites d'un produit de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Déterminer la limite d'un produit de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Compléter les limites d'un quotient de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Déterminer la limite d'un quotient de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Déterminer la limite d'une opération de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Connaître le théorème des gendarmes
  • Exercice : Déterminer la limite d'une suite à l'aide du théorème des gendarmes
  • Exercice : Déterminer la convergence d'une suite géométrique
  • Exercice : Déterminer la convergence d'une combinaison linéaire de suites géométriques
  • Exercice : Connaître les étapes du raisonnement par récurrence
  • Exercice : Démontrer qu'une suite est majorée par récurrence
  • Exercice : Démontrer qu'une suite est minorée par récurrence
  • Exercice : Démontrer qu'une suite est bornée par récurrence
  • Exercice : Démontrer une égalité par récurrence
  • Exercice : Démontrer une inégalité par récurrence
  • Exercice : Démontrer que toute suite croissante non majorée tend vers +infini
  • Exercice : Démontrer par récurrence l’inégalité de Bernoulli
  • Exercice : Démontrer la limite d'une suite géométrique
  • Exercice : Démontrer la divergence vers +infini d’une suite minorée par une suite divergeant vers +infini
  • Exercice : Démontrer la limite en +infini et en –infini de la fonction exponentielle
  • Problème : Etudier la convergence d'une suite à l'aide du théorème de comparaison et du raisonnement par récurrence
  • Problème : Etudier la convergence d'une suite à l'aide du théorème des gendarmes et du raisonnement par récurrence
  • Problème : Etudier la convergence d'une suite à l'aide du théorème de convergence monotone et du raisonnement par récurrence
  • Problème : Étudier un phénomène d’évolution modélisable par une suite
  • Problème : Rechercher un seuil d'une suite à l'aide d'un algorithme
  • Problème : Rechercher une valeur approchée d'un nombre mathématique particulier à l'aide d'un algorithme
  • Méthode : Démontrer une propriété par récurrence
  • Méthode : Etudier la convergence d'une suite
  • Méthode : Etudier la monotonie d'une suite
  • Méthode : Montrer qu'une suite est arithmétique
  • Méthode : Montrer qu'une suite est géométrique
  • Méthode : Etudier une suite à l'aide d'une suite auxiliaire

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