Lever une indéterminationMéthode

Méthode 1

En factorisant par le terme de plus haut degré

Pour déterminer la limite d'une suite dont le terme général s'exprime sous la forme u_n=f\left(n\right), où f est une fonction polynôme ou une fonction rationnelle (quotient de fonctions polynômes), on peut rencontrer une des deux formes indéterminées suivantes : \dfrac{\infty}{\infty} et +\infty-\infty. On utilise alors la factorisation par le terme de plus haut degré pour lever l'indétermination.

Soit \left( u_n \right) la suite définie par :

\forall n\in\mathbb{N},\ u_n=\dfrac{n^3+n-1}{3n^3+n^2+2}

Déterminer la limite de la suite \left( u_n \right).

Etape 1

Factoriser chaque polynôme par son terme de plus haut degré

On factorise chaque polynôme par son terme de plus haut degré.

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

u_n=\dfrac{n^3+n-1}{3n^3+n^2+2}

Soit :

u_n=\dfrac{n^3\left(1+\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{n^3}\right)}{n^3\left(3+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^3}\right)}

Etape 2

Simplifier les termes factorisés dans le cas d'un quotient de polynômes

Si le terme général de la suite étudiée est un quotient de polynômes, on peut simplifier le numérateur et le dénominateur en s'intéressant aux termes de plus haut degré par lesquels on vient de factoriser.

En simplifiant numérateur et dénominateur on obtient, pour tout entier naturel n :

u_n=\dfrac{1+\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{n^3}}{3+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^3}}

Etape 3

Déterminer la limite

On détermine la limite de la suite en utilisant les limites usuelles et les opérations sur les limites.

On a :

  • \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^2}=0
  • \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^3}=0

Donc, par somme :

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{n^3}\right)=1

De plus, on a :

  • \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}=0
  • \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{2}{n^3}=0

Donc par somme :

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(3+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^3}\right)=3

Finalement, par quotient :

\lim\limits_{n \to \infty}u_n=\dfrac13

Méthode 2

En utilisant la quantité conjuguée

Cette méthode s'emploie en particulier pour déterminer la limite d'une suite dont le terme général est défini comme somme ou différence de racines carrées.

Soit \left( u_n \right) la suite définie par :

\forall n\in \mathbb{N}^*,\ u_n=\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}

Déterminer la limite de la suite \left( u_n \right).

Etape 1

Multiplier et diviser par la quantité conjuguée

  • Si l'expression est de type \left( a-b \right), on la multiplie et la divise par sa quantité conjuguée \left( a+b \right).
  • Si l'expression est de type \left( a+b \right), on la multiplie et la divise par sa quantité conjuguée \left( a-b \right).

Cette expression présente une forme indéterminée de la forme +\infty-\infty. On multiplie et on divise par la quantité conjuguée. On obtient :

\forall n\in\mathbb{N}^*,u_n=\dfrac{\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\right)\left(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}\right)}{\left(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}\right)}

Etape 2

Développer et réduire le numérateur et le dénominateur

On sait que, pour tous réels a et b :

\left( a-b \right)\left( a+b \right)=a^2-b^2

Ainsi, pour tous réels a et b avec a+b\neq0 :

a-b=\dfrac{\left( a-b \right)\left( a+b \right)}{a+b}=\dfrac{a^2-b^2}{a+b}

On obtient, pour tout n entier naturel non nul :

u_n=\dfrac{n^2+1-\left(n^2-1\right)}{\left(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}\right)}

Soit :

u_n=\dfrac{2}{\left(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}\right)}

Etape 3

Déterminer la limite

Si l'indétermination est levée, on peut déterminer la limite à l'aide des limites usuelles et des règles d'opération. Sinon, il reste à factoriser par les termes de plus haut degré.

Il n'y a plus d'indétermination. On a :

  • \lim\limits_{n \to +\infty}\left(n^2+1\right)=+\infty
  • \lim\limits_{N \to +\infty}\sqrt{N}=+\infty

Par composition :

\lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{n^2+1}=+\infty

De même, on a :

\lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{n^2-1}=+\infty

Ainsi, par somme :

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}\right)=+\infty

Donc par quotient :

\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=0

Méthode 3

En utilisant les théorèmes de comparaison

Pour montrer qu'une suite tend vers l'infini, on peut utiliser les théorèmes de comparaison.

Soit \left( u_n \right) la suite définie par :

\forall n\in\mathbb{N},u_n=n-\sin\left(n^{2}\right)

Déterminer la limite de cette suite.

Etape 1

Majorer ou minorer l'expression par celle d'une autre suite

On essaie de minorer le terme général de la suite par celui d'une autre suite qui tend vers +\infty ou de la majorer par le terme général d'une autre suite qui tend vers -\infty.

Soit n un entier naturel, on a :

\sin\left(n^2\right)\leqslant1

Soit :

-\sin\left(n^2\right)\geqslant -1

En ajoutant n à chaque membre de l'inégalité, on obtient :

n-\sin\left(n^2\right)\geqslant n-1

On remarque que l'on a :

\lim\limits_{n \to \infty} \left(n-1\right) = +\infty

Etape 2

Conclure sur la limite à l'aide des théorèmes de comparaison

On conclut sur la limite de la suite :

  • Si le terme général est minoré par celui d'une suite qui tend vers +\infty, alors la suite tend aussi vers +\infty.
  • Si le terme général est majoré par celui d'une suite qui tend vers -\infty, alors la suite tend aussi vers -\infty.

On a :

  • Pour tout entier naturel n : n-\sin\left(n^2\right)\geqslant n-1
  • \lim\limits_{n \to +\infty} \left(n-1\right) = +\infty

On peut conclure, d'après les théorèmes de comparaison :

\lim\limits_{n \to +\infty}\left[ n-\sin\left(n^2\right) \right]=+\infty

C'est-à-dire :

\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty

Méthode 4

En utilisant le théorème des gendarmes

Pour montrer qu'une suite admet une limite finie, on peut utiliser le théorème des gendarmes.

Déterminer la limite suivante :

\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\sin\left(n\right)}{n}

Etape 1

Déterminer un encadrement de l'expression par deux suites de même limite

On encadre l'expression dont on cherche la limite par celle de deux suites ayant la même limite.

Soit n un entier naturel non nul :

-1 \leqslant \sin\left(n\right) \leqslant 1

En multipliant par \dfrac{1}{n}, qui est strictement positif, on obtient :

-\dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{\sin\left(n\right)}{n} \leqslant \dfrac{1}{n}

On remarque que l'on a :

  • \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}=0
  • \lim\limits_{n \to +\infty}-\dfrac{1}{n}=0
Etape 2

Conclure à l'aide du théorème des gendarmes

On peut conclure grâce au théorème des gendarmes que l'expression admet pour limite celle commune aux deux suites encadrantes.

On sait que :

  • Pour tout entier n strictement positif : -\dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{\sin\left(n\right)}{n} \leqslant \dfrac{1}{n}
  • \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}=0
  • \lim\limits_{n \to +\infty}-\dfrac{1}{n}=0

D'après le théorème des gendarmes, on peut donc conclure :

\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\sin\left(n\right)}{n}=0

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