Démontrer une propriété par récurrenceMéthode

Pour démontrer des propriétés sur les suites, en particulier sur les suites définies par récurrence, on est parfois conduit à utiliser la démonstration par récurrence. Si une propriété est vraie à un premier rang noté n_0 et est héréditaire, alors elle est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n_0.

Soit \left(u_n\right) la suite définie par son premier terme u_0=1 et pour tout entier naturel n par :

u_{n+1}=u_n^2+\dfrac{1}{2}

Montrer que l'on a, pour tout entier n, u_n \geqslant 1.

Etape 1

Identifier la propriété à démontrer

On précise que l'on va démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n (ou pour tout entier n\geqslant n_0 ), une propriété P\left( n \right) est vraie.

On montre par récurrence que pour tout entier naturel n, on a u_n\geqslant 1.

Etape 2

Écrire l'initialisation

On démontre que la propriété est vérifiée au premier rang demandé (en général il s'agit du rang n=0 ).

Comme u_0=1, on a bien :

u_0\geqslant 1

La propriété est initialisée.

Etape 3

Écrire l'hérédité

On fixe un entier naturel n quelconque. On suppose la propriété vraie à ce rang n. On montre alors que la propriété est vraie au rang n+1. Pour cela, on utilise :

  • L'hypothèse de récurrence : on a supposé P\left( n \right) vraie.
  • Une relation de récurrence : lorsqu'une suite est définie par récurrence, il existe un lien entre l'expression du rang n+1 de la suite et celle du rang n.

Soit n un entier naturel, on suppose que u_n\geqslant 1. On montre alors que u_{n+1}\geqslant 1.

La relation de récurrence est la suivante :

u_{n+1}=u_n^2+\dfrac12

Or, on a :

u_n\geqslant1

Donc :

u_n^2\geqslant 1

Et, comme \dfrac12 \geqslant 0 :

u_n^2+\dfrac12\geqslant 1+0

Donc :

u_{n+1}\geqslant1

La propriété est héréditaire.

Etape 4

Écrire la conclusion

La propriété est initialisée et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier naturel n (éventuellement n\geqslant n_0 en fonction du rang de l'initialisation).

La propriété est initialisée et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier naturel n.

Ainsi, pour tout entier naturel n : u_n\geqslant 1.