On considère la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0=4 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=3u_n+2 \end{cases}

Quelle proposition démontre par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n=5\times 3^n-1 ?

Initialisation : 5 \times 3^0-1=4=u_0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}. On suppose que u_k=5 \times 3^k - 1.

Alors u_{k+1}=3u_k+2=3\left(5\times3^k-1\right)+2=5*3^{k+1}-1, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 5 \times 3^0-1=4=u_0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Supposons que pour tout k\in\mathbb{N}^*, u_k=5 \times 3^k - 1.

Alors u_{k+1}=3u_k+2=3\left(5\times3^k-1\right)+2=5*3^{k+1}-1, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 1, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 5 \times 3^0-1=4=u_0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}^*. On suppose que u_k=5 \times 3^k - 1.

Alors u_{k+1}=3u_k+2=3\left(5\times3^k-1\right)+2=5*3^{k+1}-1, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 1, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 5 \times 3^0-1=4=u_0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Supposons que pour tout k\in\mathbb{N}, u_k=5 \times 3^k - 1.

Alors u_{k+1}=3u_k+2=3\left(5\times3^k-1\right)+2=5*3^{k+1}-1, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Etape 1

Initialisation

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a :

\begin{cases} 5\times 3^0-1=5\times 1 - 1 = 5-1=4 \cr \cr u_0=4 \end{cases}

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

Etape 2

Hérédité

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que u_{n+1}=5\times 3^{n+1}-1.

Or, on a :

u_{n+1}=3u_n+2

Et, d'après l'hypothèse de récurrence :

u_{n+1}=3\left( 5\times 3^n-1 \right)+2

u_{n+1}=3\times5\times 3^n-3\times1 +2

u_{n+1}=3\times5\times 3^n-3 +2

Et, comme 3\times 3^n=3^{n+1} on obtient :

u_{n+1}=5\times 3^{n+1}-1

La propriété est héréditaire.

Etape 3

Conclusion

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, u_n=5\times3^n-1.

\forall n \in\mathbb{N}, u_n=5\times3^n-1

On considère la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=2u_n+2 \end{cases}

Quelle proposition démontre par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n=3\times 2^n-2 ?

Initialisation : 3 \times 2^0-2=1=u_0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : u_1=2u_0+2=4 et 3\times2^1-2=4 donc u_1=3\times2^1-2.

De la même façon, u_2=3\times2^2-2 et u_3=3\times2^3-2, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 3 \times 2^0-2=1=u_0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}^*, supposons que u_k=3 \times 2^k - 2.

Alors u_{k+1}=2u_k+2=2\left(3\times2^k-2\right)+2=3\times 2^{k+1}-2, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 1, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 3 \times 2^0-2=1=u_0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que u_k=3 \times 2^k - 2.

Alors u_{k+1}=2u_k+2=2\left(3\times2^k-2\right)+2=3\times 2^{k+1}-2, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 3 \times 2^0-2=1=u_0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Supposons que pour tout k\in\mathbb{N}, u_k=3 \times 2^k - 2.

Alors u_{k+1}=2u_k+2=2\left(3\times2^k-2\right)+2=3\times 2^{k+1}-2, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Etape 1

Initialisation

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a :

\begin{cases} 3\times 2^0-2=3\times 1 - 2 = 3-2=1 \cr \cr u_0=1 \end{cases}

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

Etape 2

Hérédité

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que u_{n+1}=3\times 2^{n+1}-2.

Or, on a :

u_{n+1}=2u_n+2

Et, d'après l'hypothèse de récurrence :

u_{n+1}=2\left( 3\times 2^n-2 \right)+2

u_{n+1}=2\times3\times 2^n-2\times2 +2

u_{n+1}=2\times3\times 2^n-4 +2

Et, comme 2\times 2^n=2^{n+1} on obtient :

u_{n+1}=3\times 2^{n+1}-2

La propriété est héréditaire.

Etape 3

Conclusion

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, u_n=3\times2^n-2.

\forall n \in\mathbb{N}, u_n=3\times2^n-2

On considère la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=3u_n+2 \end{cases}

Quelle proposition démontre par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n=2\times 3^n-1 ?

Initialisation : 2 \times 3^0-1=0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}^*, supposons que u_k=2 \times 3^k - 1.

Alors u_{k+1}=3u_k+2=3\left(2 \times 3^k - 1\right)+2=2 \times 3^{k+1} - 1, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 1, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 2 \times 3^0-1=1=u_0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}^*, supposons que u_k=2 \times 3^k - 1.

Alors u_{k+1}=3u_k+2=3\left(2 \times 3^k - 1\right)+2=2 \times 3^{k+1} - 1, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 1, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 2 \times 3^0-1=1=u_0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que u_k=2 \times 3^k - 1.

Alors u_{k+1}=2\times3^{k+1}-1=3\left(2\times3^k\right)-1=2 \times 3^{k+1} - 1, donc u_{k+1}=3u_k+2 et la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 2 \times 3^0-1=1=u_0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que u_k=2 \times 3^k - 1.

Alors u_{k+1}=3u_k+2=3\left(2 \times 3^k - 1\right)+2=2 \times 3^{k+1} - 1, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Etape 1

Initialisation

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a :

\begin{cases} 2\times 3^0-1=2\times 1 - 1= 2-1=1 \cr \cr u_0=1 \end{cases}

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

Etape 2

Hérédité

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que u_{n+1}=2\times 3^{n+1}-1.

Or, on a :

u_{n+1}=3u_n+2

Et, d'après l'hypothèse de récurrence :

u_{n+1}=3\left( 2\times 3^n-1 \right)+2

u_{n+1}=2\times3\times 3^n-3\times1 +2

u_{n+1}=2\times3\times 3^n-3+2

Et, comme 3\times 3^n=3^{n+1} on obtient :

u_{n+1}=2\times 3^{n+1}-1

La propriété est héréditaire.

Etape 3

Conclusion

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, u_n=2\times3^n-1.

\forall n \in\mathbb{N}, u_n=2\times3^n-1

On considère la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=2u_n+4 \end{cases}

Quelle proposition démontre par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n=5\times 2^n-4 ?

Initialisation : 5 \times 2^0-4=1=u_0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que u_k=5 \times 2^k - 4.

Alors u_{k+1}=2u_k+4=2\left(5\times2^k-4\right)+4=5\times 2^{k+1}-4, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 5 \times 2^0-4=1=u_0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Supposons que pour tout k\in\mathbb{N}, u_k=5 \times 2^k - 4.

Alors u_{k+1}=2u_k+4=2\left(5\times2^k-4\right)+4=5\times 2^{k+1}-4, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 5 \times 2^0-4=0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que u_k=5 \times 2^k - 4.

Alors u_{k+1}=2u_k+4=2\left(5\times2^k-4\right)+4=5\times 2^{k+1}-4, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 5 \times 2^0-4=1=u_0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que u_k=5 \times 2^k - 4.

Alors u_k+1=\left(5\times2^k-4\right)+1=5\times 2^{k+1}+4, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Etape 1

Initialisation

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a :

\begin{cases} 5\times 2^0-4=5\times 1 - 4= 5-4=1 \cr \cr u_0=1 \end{cases}

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

Etape 2

Hérédité

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que u_{n+1}=5\times 2^{n+1}-4.

Or, on a :

u_{n+1}=2u_n+4

Et, d'après l'hypothèse de récurrence :

u_{n+1}=2\left( 5\times 2^n-4 \right)+4

u_{n+1}=2\times5\times 2^n-2\times4 +4

u_{n+1}=2\times5\times 2^n-8+4

Et, comme 2\times 2^n=2^{n+1} on obtient :

u_{n+1}=5\times 2^{n+1}-4

La propriété est héréditaire.

Etape 3

Conclusion

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, u_n=5\times2^n-4.

\forall n \in\mathbb{N}, u_n=5\times2^n-4

On considère la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0=4 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=4u_n-3 \end{cases}

Quelle proposition démontre par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n=3\times 4^n+1 ?

Initialisation : 3 \times 4^0+1=4 = u_0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que u_k=3 \times 4^k +1.

Alors u_k+1=3\times4^k+1, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 3 \times 4^0+1=4 = u_0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que u_k=3 \times 4^k +1.

Alors u_{k+1}=4u_k-3=4\left(3\times4^k+1\right)-3=3\times 4^{k+1}+1, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 3 \times 4^0+1=4, donc la propriété est vérifiée au rang 4.

Hérédité : Soit k \text{ entier }\geqslant 4, supposons que u_k=3 \times 4^k +1.

Alors u_{k+1}=4u_k-3=4\left(3\times4^k+1\right)-3=3\times 4^{k+1}+1, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 4 et héréditaire à partir du rang 4, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 3 \times 4^0+1=1, donc la propriété est vérifiée au rang 1.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que u_k=3 \times 4^k +1.

Alors u_{k+1}=4u_k-3=4\left(3\times4^k+1\right)-3=3\times 4^{k+1}+1, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 1 et héréditaire à partir du rang 1, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Etape 1

Initialisation

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a :

\begin{cases} 3\times 4^0+1=3\times 1 +1= 3+1=4 \cr \cr u_0=4 \end{cases}

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

Etape 2

Hérédité

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que u_{n+1}=3\times 4^{n+1}+1.

Or, on a :

u_{n+1}=4u_n-3

Et, d'après l'hypothèse de récurrence :

u_{n+1}=4\left( 3\times 4^n+1 \right)-3

u_{n+1}=4\times3\times 4^n+4\times1 -3

u_{n+1}=4\times3\times 4^n+4-3

Et, comme 4\times 4^n=4^{n+1} on obtient :

u_{n+1}=3\times 4^{n+1}+1

La propriété est héréditaire.

Etape 3

Conclusion

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, u_n=3\times4^n+1.

\forall n \in\mathbb{N}, u_n=3\times4^n+1

On considère la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0=4 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=7u_n-12 \end{cases}

Quelle proposition démontre par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n=2\times 7^n+2 ?

Initialisation : 2 \times 7^0 +2=4=u_0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}^*, supposons que u_k=2 \times 7^k +2.

Alors u_{k+1}=7u_k-12=7\left(2\times7^k+2\right)-12=2\times 7^{k+1}+2, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : u_0=4, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que u_k=2 \times 7^k +2.

Alors u_{k+1}=7u_k-12=7\left(2\times7^k+2\right)-12=2\times 7^{k+1}+2, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 2 \times 7^0 +2=4=u_0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que u_k=2 \times 7^k +2.

Alors u_{k+1}=7u_k-12=7\left(2\times7^k+2\right)-12=2\times 7^{k+1}+2, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation : 2 \times 7^0 +2=4=u_0, donc la propriété est vérifiée au rang 0.

Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, supposons que pour tout k\in\mathbb{N}, u_k=2 \times 7^k +2.

Alors u_{k+1}=7u_k-12=7\left(2\times7^k+2\right)-12=2\times 7^{k+1}+2, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc la propriété est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Etape 1

Initialisation

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a :

\begin{cases} 2\times 7^0+2=2\times 1 +2= 2+2=4 \cr \cr u_0=4 \end{cases}

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

Etape 2

Hérédité

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que u_{n+1}=2\times 7^{n+1}+2.

Or, on a :

u_{n+1}=7u_n-12\\

Et, d'après l'hypothèse de récurrence :

u_{n+1}=7\left( 2\times 7^n+2\right)-12

u_{n+1}=2\times7\times 7^n+7\times2 -12

u_{n+1}=2\times7\times 7^n+14-12

Et, comme 7\times 7^n=7^{n+1} on obtient :

u_{n+1}=2\times 7^{n+1}+2

La propriété est héréditaire.

Etape 3

Conclusion

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, u_n=2\times7^n+2.

\forall n \in\mathbb{N}, u_n=2\times7^n+2