Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\left(-1\right)^n}{n}
On procède par encadrement. On sait que suivant la parité de n, \left(-1\right)^n vaut alternativement -1 ou 1. On a donc :
-1\leqslant \left(-1\right)^n \leqslant1
On multiplie tous les termes de l'inégalité par \dfrac{1}{n} qui est positif.
\forall n \in\mathbb{N}^*,\dfrac{-1}{n}\leqslant \dfrac{\left(-1\right)^n}{n} \leqslant\dfrac{1}{n}
Or, on a :
- \lim\limits_{n \to +\infty}-\dfrac{1}{n}=0
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}=0
Ainsi, d'après le théorème des gendarmes, on en déduit que \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\left(-1\right)^n}{n}=0
\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\left(-1\right)^n}{n}=0
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\sin\left(n\right)}{n}
On procède par encadrement. On sait que la fonction sin varie entre -1 et 1. On a donc :
-1\leqslant \sin\left(n\right) \leqslant1
On multiplie tous les termes de l'inégalité par \dfrac{1}{n} qui est positif.
\forall n \in\mathbb{N}^*,\dfrac{-1}{n}\leqslant \dfrac{\sin\left(n\right)}{n} \leqslant\dfrac{1}{n}
Or, on a :
- \lim\limits_{n \to +\infty}-\dfrac{1}{n}=0
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}=0
Ainsi, d'après le théorème des gendarmes, on en déduit que \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\sin\left(n\right)}{n}=0
\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\sin\left(n\right)}{n}=0
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\left(-1\right)^n}{2n^2}
On procède par encadrement. On sait que suivant la parité de n, \left(-1\right)^n vaut alternativement -1 ou 1. On a donc :
-1\leqslant \left(-1\right)^n \leqslant1
On multiplie tous les termes de l'inégalité par \dfrac{1}{2n^2} qui est positif.
\forall n \in\mathbb{N}^*,\dfrac{-1}{2n^2}\leqslant \dfrac{\left(-1\right)^n}{2n^2} \leqslant\dfrac{1}{2n^2}
Or, on a :
- \lim\limits_{n \to +\infty}-\dfrac{1}{2n^2}=0
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{2n^2}=0
Ainsi, d'après le théorème des gendarmes, on en déduit que \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\left(-1\right)^n}{2n^2}=0
\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\left(-1\right)^n}{2n^2}=0
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\sin\left(n\right)}{2n^2}
On procède par encadrement. On sait que la fonction sin varie entre -1 et 1. On a donc :
-1\leqslant \sin\left(n\right) \leqslant1
On multiplie tous les termes de l'inégalité par \dfrac{1}{2n^2} qui est positif.
\forall n \in\mathbb{N}^*,\dfrac{-1}{2n^2}\leqslant \dfrac{\sin\left(n\right)}{2n^2} \leqslant\dfrac{1}{2n^2}
Or, on a :
- \lim\limits_{n \to +\infty}-\dfrac{1}{2n^2}=0
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{2n^2}=0
Ainsi, d'après le théorème des gendarmes, on en déduit que \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\sin\left(n\right)}{2n^2}=0
\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\sin\left(n\right)}{2n^2}=0
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\left(-1\right)^n}{3n^3}
On procède par encadrement. On sait que suivant la parité de n, \left(-1\right)^n vaut alternativement -1 ou 1. On a donc :
-1\leqslant \left(-1\right)^n \leqslant1
On multiplie tous les termes de l'inégalité par \dfrac{1}{3n^3} qui est positif.
\forall n \in\mathbb{N}^*,\dfrac{-1}{3n^3}\leqslant \dfrac{\left(-1\right)^n}{3n^3} \leqslant\dfrac{1}{3n^3}
Or, on a :
- \lim\limits_{n \to +\infty}-\dfrac{1}{3n^3}=0
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{3n^3}=0
Ainsi, d'après le théorème des gendarmes, on en déduit que \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\left(-1\right)^n}{3n^3}=0
\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\left(-1\right)^n}{3n^3}=0
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-1\right)^n+n
On procède par encadrement. On sait que suivant la parité de n, \left(-1\right)^n vaut alternativement -1 ou 1. On a donc :
-1\leqslant \left(-1\right)^n
On additionne n à tous les termes de l'inégalité.
\forall n \in\mathbb{N}^*,-1+n\leqslant\left(-1\right)^n+n
Or, on a :
- \lim\limits_{n \to +\infty}-1+n=+\infty
Ainsi, d'après le théorème de comparaison, on en déduit que \lim\limits_{n \to +\infty}\left(-1\right)^n+n=+\infty
\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-1\right)^n+n=+\infty