Etudier la convergence d'une suiteMéthode

Méthode 1

En calculant directement la limite

Si la suite est définie de manière explicite, on peut parfois déterminer directement la valeur de son éventuelle limite.

Soit \left( u_n \right) la suite définie par :

\forall n\in\mathbb{N},\ u_n=\dfrac{1}{2e^n}

Montrer que \left( u_n \right) converge et donner la valeur de sa limite.

Etape 1

Déterminer la valeur de la limite éventuelle

On peut calculer la valeur de la limite de la suite de trois façons différentes :

  • En utilisant les limites usuelles et les règles des opérations sur les limites
  • En utilisant le théorème des gendarmes
  • En utilisant les théorèmes de comparaison

On a :

\lim\limits_{n \to +\infty}\ 2e^n=+\infty

Or :

\lim\limits_{X \to +\infty}\ \dfrac1X=0

On a donc :

\lim\limits_{n \to +\infty}\ \dfrac{1}{2e^n}=0

Ainsi :

\lim\limits_{n \to +\infty}\ u_n=0

Etape 2

Conclure sur la convergence de la suite

Si la limite trouvée dans l'étape précédente est finie, la suite converge. Sinon, la suite diverge.

Ainsi, la suite \left(u_n\right) converge vers 0.

Méthode 2

En utilisant les théorèmes de convergence monotone

Si la suite est définie par récurrence, on ne peut généralement pas calculer sa limite directement. On utilise alors un théorème de convergence monotone.

Soit \left( u_n \right) la suite définie par :

\begin{cases} u_0=2 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2} \end{cases}

On admet que \forall n\in\mathbb{N},\ u_n\gt0. Montrer que la suite \left( u_n \right) est convergente.

Etape 1

Étudier la monotonie de la suite

On détermine si la suite est croissante ou décroissante.

Pour tout entier naturel n, on a :

u_{n+1}-u_{n}=-\dfrac{u_n}{2}

Or, d'après l'énoncé :

\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\gt0

Ainsi, pour tout entier naturel n :

u_{n+1}-u_{n}\leqslant0

Soit :

u_{n+1}\leqslant u_n

La suite \left(u_n\right) est donc décroissante.

Etape 2

Étudier la majoration ou minoration de la suite

  • Si la suite est croissante, on détermine si elle est majorée.
  • Si la suite est décroissante, on détermine si elle est minorée.

On sait que :

\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\gt0

La suite \left(u_n\right) est donc minorée par 0.

Etape 3

Conclure à l'aide des théorèmes de convergence monotone

On sait que :

  • Si la suite est croissante et majorée, elle converge.
  • Si la suite est décroissante et minorée, elle converge.

Par ailleurs :

  • Si la suite est croissante et non majorée, elle diverge vers +\infty.
  • Si la suite est décroissante et non minorée, elle diverge vers -\infty.

Cette méthode ne permet pas de conclure sur la valeur de la limite de la suite si celle-ci converge. Le majorant (ou le minorant) déterminé n'est pas nécessairement la limite.

La suite \left(u_n\right) étant décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente. On note l sa limite.

Questions fréquentes

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