Calculer un angle avec les complexes Exercice

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Dernière modification : 24/12/2020 - Conforme au programme 2019-2020

Soient A, B et C les points d'affixes respectives z_A=\sqrt{2}+i\sqrt{2}, z_B=\sqrt{2}-i\sqrt{2} et z_C=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}.

Quelle est la valeur de \left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right) ?

\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k \in\mathbb{Z}

\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi, k \in\mathbb{Z}

\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi, k \in\mathbb{Z}

\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k \in\mathbb{Z}

Soient le repère \left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right) et A et B les points d'affixes respectives z_A=-2+i et z_B=-3+2i.

Quelle est la valeur de \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right) ?

\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{3\pi}{5}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}

\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{\pi}{5}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}

\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}

\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}

On sait que :

\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right)=arg\left(z_B-z_A\right)

Etape 1

Calcul de {z_B-z_A}

{z_b-z_A}=-3+2i-\left(-2+i\right)

{z_b-z_A}=-1+i

Etape 2

Calcul du module

\left| -1+i \right|=\sqrt{\left(-1\right)^2+1^2}

\left|-1+i\right|=\sqrt{2}

Etape 3

Calcul de l'argument

On note \theta=arg\left(-1-i\right)

On a :

\cos\left(\theta\right)=\dfrac{-1}{\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\sin\left(\theta\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Ainsi, on obtient \theta=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}

Ainsi, \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}

Soient A, B, C et D les points d'affixes respectives z_A=i-5, z_B=2i-6, z_C=\sqrt{2}+2i et z_D=\sqrt{2}+3i.

Quelle est la valeur de \left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right) ?

\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi, k \in\mathbb{Z}

\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k \in\mathbb{Z}

\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right)=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k \in\mathbb{Z}

\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi, k \in\mathbb{Z}

Soient A, B, C et D les points d'affixes respectives , z_A={2}+5i\sqrt3, z_B=4+3i\sqrt3, z_C=3-3i et z_D=7-3i.

Quelle est la valeur de \left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right) ?

\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi, k \in\mathbb{Z}

\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi, k \in\mathbb{Z}

\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi, k \in\mathbb{Z}

\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right)=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi, k \in\mathbb{Z}

Soient A, B, C et D les points d'affixes respectives , z_A=-4\sqrt2+i\sqrt2, z_B=-3\sqrt2+2i\sqrt2, z_C=6+5i et z_D=6+3i.

Quelle est la valeur de \left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right) ?

\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi, k \in\mathbb{Z}

\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right)=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k \in\mathbb{Z}

\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi, k \in\mathbb{Z}

\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k \in\mathbb{Z}

Soient A, B, C et D les points d'affixes respectives , z_A=8+4i, z_B=8+i, z_C=4+2i et z_D=7+2i.

Quelle est la valeur de \left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right) ?

\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, k \in\mathbb{Z}

\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right)=0+2k\pi, k \in\mathbb{Z}

\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right)=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, k \in\mathbb{Z}

\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{AB}\right)=\pi+2k\pi, k \in\mathbb{Z}