Soit la parabole P d'équation : y=ax^2+bx+c
Quels sont les coefficients a, b et c tels que la parabole P ait pour sommet S\left(1;2\right) et passe par le point A\left(3;10\right) ?
Mise en place du système
On sait que l'abscisse du sommet est égal à \dfrac{-b}{2a}. Ainsi \dfrac{-b}{2a}=1.
De plus la parabole P passe par les points S\left(1;2\right) et A\left(3;10\right). Ainsi Les coordonnées de ces deux points vérifient l'équation de P.
Finalement on obtient le système suivant :
\begin{cases}\dfrac{-b}{2a}=1 \cr \cr a\times1^2+b\times1+c=2 \cr \cr a\times3^2+b\times3+c=10 \end{cases}
Résolution du système
\begin{cases}\dfrac{-b}{2a}=1 \cr \cr a\times1^2+b\times1+c=2 \cr \cr a\times3^2+b\times3+c=10 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}b=-2a \cr \cr a+b+c=2 \cr \cr 9a+3b+c=10 \end{cases}
On remplace b par -2a dans la deuxième et troisième ligne.
\Leftrightarrow\begin{cases}b=-2a \cr \cr a+\left(-2a\right)+c=2 \cr \cr 9a+3\left(-2a\right)+c=10 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}b=-2a \cr \cr -a+c=2 \cr \cr 3a+c=10 \end{cases}
En soustrayant membre à membre la deuxième ligne à la troisième ligne (pour faire disparaître l'inconnue c de la troisième équation), on obtient :
\Leftrightarrow\begin{cases}b=-2a \cr \cr -a+c=2 \cr \cr 4a=8 \end{cases}
On en déduit que a=2, puis en remplaçant cette valeur de a dans la première et la deuxième équation on obtient :
\Leftrightarrow\begin{cases}b=-4 \cr \cr -2+c=2 \cr \cr a=2 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}b=-4 \cr \cr c=4 \cr \cr a=2 \end{cases}
On en déduit qu'une équation de la parabole de P est y=2x^2-4x+4.
Soit la parabole P d'équation : y=ax^2+bx+c
Quels sont les coefficients a, b et c tels que la parabole passe par les points A\left(2;4\right), B\left(-1;1\right) et C\left(-2;-4\right) ?
Mise en place du système
Les points A, B et C appartiennent à P si et seulement si leurs coordonnées respectives vérifient l’équation de la parabole.
En remplaçant les coordonnées de chacun des trois points dans l'équation de P , on obtient le système suivant :
\begin{cases} a\times2^2+b\times2+c=4 \cr \cr a\times\left(-1\right)^2+b\times\left(-1\right)+c=1 \cr \cr a\times\left(-2\right)^2+b\times\left(-2\right)+c=-4 \end{cases}
Résolution du système
\begin{cases} a\times2^2+b\times2+c=4 \cr \cr a\times\left(-1\right)^2+b\times\left(-1\right)+c=1 \cr \cr a\times\left(-2\right)^2+b\times\left(-2\right)+c=-4 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 4a+2b+c=4 \cr \cr a-b+c=1 \cr \cr 4a-2b+c=-4 \end{cases}
En soustrayant membre à membre la première ligne à la troisième ligne (pour faire disparaître les inconnues a et c de la troisième équation), on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 4a+2b+c=4 \cr \cr a-b+c=1 \cr \cr -4b=-8 \end{cases}
On en déduit que b=2, puis en remplaçant cette valeur de b dans les deux autres équations on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 4a+4+c=4 \cr \cr a-2+c=1 \cr \cr b=2 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 4a+c=0 \cr \cr a+c=3 \cr \cr b=2 \end{cases}
En soustrayant membre à membre la première ligne à la deuxième ligne (pour faire disparaître l'inconnue c de la deuxième équation), on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 4a+c=0 \cr \cr -3a=3 \cr \cr b=2 \end{cases}
On en déduit que a = -1 , puis en remplaçant cette valeur de a dans la première équation on obtient enfin la valeur de c :
\Leftrightarrow \begin{cases} -4+c=0 \cr \cr a=-1 \cr \cr b=2 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} c=4 \cr \cr a=-1 \cr \cr b=2 \end{cases}
On en déduit qu'une équation de la parabole de P est y=-x^2+2x+4.
Soit la parabole P d'équation : y=ax^2+bx+c, courbe représentative de la fonction f.
Quels sont les coefficients a, b et c tels que f\left(2\right)=-9, f\left(1\right)=-4 et f\left(-1\right)=-6 ?
Mise en place du système
Comme P est la courbe représentative de la fonction f, on a :
f\left(x\right)=ax^2+bx+c
En utilisant les données de la question, on obtient le système :
\begin{cases} a\times2^2+b\times2+c=-9 \cr \cr a\times1^2+b\times1+c=-4 \cr \cr a\times\left(-1\right)^2+b\times\left(-1\right)+c=-6 \end{cases}
Résolution du système
\begin{cases} a\times2^2+b\times2+c=-9 \cr \cr a\times1^2+b\times1+c=-4 \cr \cr a\times\left(-1\right)^2+b\times\left(-1\right)+c=-6 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 4a+2b+c=-9 \cr \cr a+b+c=-4 \cr \cr a-b+c=-6 \end{cases}
En soustrayant membre à membre la deuxième ligne à la troisième ligne (pour faire disparaître les inconnues a et c de la troisième équation), on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 4a+2b+c=-9 \cr \cr a+b+c=-4 \cr \cr -2b=-2 \end{cases}
On en déduit que b=1, puis en remplaçant cette valeur de b dans les deux autres équations on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 4a+2+c=-9 \cr \cr a+1+c=-4 \cr \cr b=1 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 4a+c=-11 \cr \cr a+c=-5 \cr \cr b=1 \end{cases}
En soustrayant membre à membre la première ligne à la deuxième ligne (pour faire disparaître l'inconnue c de la deuxième équation), on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 4a+c=-11 \cr \cr -3a=6 \cr \cr b=1 \end{cases}
On en déduit que a = -2 , puis en remplaçant cette valeur de a dans la première équation on obtient enfin la valeur de c :
\Leftrightarrow \begin{cases} -8+c=-11 \cr \cr a=-2 \cr \cr b=1 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} c=-3 \cr \cr a=-2 \cr \cr b=1 \end{cases}
On en déduit qu'une équation de la parabole de P est y=-2x^2+x-3.
Soit la parabole P d'équation : y=ax^2+bx+c, courbe représentative de la fonction f.
Quels sont les coefficients a, b et c tels que f\left(2\right)=-2, f\left(3\right)=-13 et f\left(-1\right)=-5 ?
Mise en place du système
Comme P est la courbe représentative de la fonction f, on a :
f\left(x\right)=ax^2+bx+c
En utilisant les données de la question, on obtient le système :
\begin{cases} a\times2^2+b\times2+c=-2 \cr \cr a\times3^2+b\times3+c=-13 \cr \cr a\times\left(-1\right)^2+b\times\left(-1\right)+c=-5 \end{cases}
Résolution du système
\begin{cases} a\times2^2+b\times2+c=-2 \cr \cr a\times3^2+b\times3+c=-13 \cr \cr a\times\left(-1\right)^2+b\times\left(-1\right)+c=-5 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 4a+2b+c=-2 \cr \cr 9a+3b+c=-13 \cr \cr a-b+c=-5 \end{cases}
En soustrayant membre à membre la troisième ligne à la première ligne et la troisième ligne à la deuxième ligne (pour faire disparaître l'inconnue c de la première et la deuxième équation), on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 3a+3b=3 \cr \cr 8a+4b=-8 \cr \cr a-b+c=-5 \end{cases}
On simplifie les équations :
\Leftrightarrow \begin{cases} a+b=1 \cr \cr 2a+b=-2 \cr \cr a-b+c=-5 \end{cases}
En soustrayant membre à membre la première ligne à la deuxième ligne (pour faire disparaître l'inconnue b de la deuxième équation), on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} a+b=1 \cr \cr a=-3 \cr \cr a-b+c=-5 \end{cases}
On en déduit que a=-3, puis en remplaçant cette valeur de a dans les deux autres équations on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} -3+b=1 \cr \cr a=-3 \cr \cr -3-b+c=-5 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} b=4 \cr \cr a=-3 \cr \cr -b+c=-2 \end{cases}
On en déduit que b = 4 , puis en remplaçant cette valeur de b dans la troisème équation on obtient enfin la valeur de c :
\Leftrightarrow \begin{cases} b=4 \cr \cr a=-3 \cr \cr -4+c=-2 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} b=4 \cr \cr a=-3 \cr \cr c=2 \end{cases}
On en déduit qu'une équation de la parabole de P est y=-3x^2+4x+2.
Soit la parabole P d'équation : y=ax^2+bx+c
Quels sont les coefficients a, b et c tels que la parabole P soit la courbe représentée ci-dessous ?
Mise en place du système
On lit graphiquement que P passe par les points A\left(1;-1\right), B\left(-3;7\right) et C\left(-4;4\right).
Les points A, B et C appartiennent à P si et seulement si leurs coordonnées respectives vérifient l’équation de la parabole.
En remplaçant les coordonnées de chacun des trois points dans l'équation de P , on obtient le système suivant :
\begin{cases} a\times1^2+b\times1+c=-1 \cr \cr a\times\left(-3\right)^2+b\times\left(-3\right)+c=7 \cr \cr a\times\left(-4\right)^2+b\times\left(-4\right)+c=4 \end{cases}
Résolution du système
\begin{cases} a\times1^2+b\times1+c=-1 \cr \cr a\times\left(-3\right)^2+b\times\left(-3\right)+c=7 \cr \cr a\times\left(-4\right)^2+b\times\left(-4\right)+c=4 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} a+b+c=-1 \cr \cr 9a-3b+c=7 \cr \cr 16a-4b+c=4 \end{cases}
En soustrayant membre à membre la première ligne à la deuxième ligne et la première ligne à la troisième ligne (pour faire disparaître l'inconnue c de la deuxième et la troisième équation), on obtient :
\Leftrightarrow\begin{cases} a+b+c=-1 \cr \cr 8a-4b=8 \cr \cr 15a-5b=5 \end{cases}
En soustrayant membre à membre 5 fois la deuxième ligne à 4 fois la troisième ligne (pour faire disparaître l'inconnue b de la troisième équation), on obtient :
\Leftrightarrow\begin{cases} a+b+c=-1 \cr \cr 8a-4b=8 \cr \cr 20a=-20 \end{cases}
On en déduit que a = -1 , puis en remplaçant cette valeur de a dans les autres équations, on obtient :
\Leftrightarrow\begin{cases} -1+b+c=-1 \cr \cr -8-4b=8 \cr \cr a=-1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} b+c=0 \cr \cr -4b=16 \cr \cr a=-1 \end{cases}
On en déduit que b=-4, puis en remplaçant cette valeur de b dans la première équation on obtient :
\Leftrightarrow\begin{cases} -4+c=0 \cr \cr b=-4 \cr \cr a=-1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} c=4 \cr \cr b=-4 \cr \cr a=-1 \end{cases}
On en déduit qu'une équation de la parabole de P est y=-x^2-4x+4.
Soit la parabole P d'équation : y=ax^2+bx+c
Quels sont les coefficients a, b et c tels que la parabole P soit la courbe représentée ci-dessous ?
Mise en place du système
On lit graphiquement que P passe par les points A\left(-2;7\right), B\left(1;4\right) et C\left(-1;2\right).
Les points A, B et C appartiennent à P si et seulement si leurs coordonnées respectives vérifient l’équation de la parabole.
En remplaçant les coordonnées de chacun des trois points dans l'équation de P , on obtient le système suivant :
\begin{cases} a\times\left(-2\right)^2+b\times\left(-2\right)+c=7 \cr \cr a\times1^2+b\times1+c=4 \cr \cr a\times\left(-1\right)^2+b\times\left(-1\right)+c=2 \end{cases}
Résolution du système
\begin{cases} a\times\left(-2\right)^2+b\times\left(-2\right)+c=7 \cr \cr a\times1^2+b\times1+c=4 \cr \cr a\times\left(-1\right)^2+b\times\left(-1\right)+c=2 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 4a-2b+c=7 \cr \cr a+b+c=4 \cr \cr a-b+c=2 \end{cases}
En soustrayant membre à membre la deuxième ligne à la troisième ligne (pour faire disparaître les inconnues a et c de la troisième équation), on obtient :
\Leftrightarrow\begin{cases} 4a-2b+c=7 \cr \cr a+b+c=4 \cr \cr -2b=-2 \end{cases}
On en déduit que b = 1 , puis en remplaçant cette valeur de b dans les autres équations, on obtient :
\Leftrightarrow\begin{cases} 4a-2+c=7 \cr \cr a+1+c=4 \cr \cr b=1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 4a+c=9 \cr \cr a+c=3 \cr \cr b=1 \end{cases}
En soustrayant membre à membre la première ligne à la deuxième ligne (pour faire disparaître l'inconnue c de la deuxième équation), on obtient :
\Leftrightarrow\begin{cases} 4a+c=9 \cr \cr -3a=-6 \cr \cr b=1 \end{cases}
On en déduit que a=2, puis en remplaçant cette valeur de a dans la prémière équation on obtient :
\Leftrightarrow\begin{cases} 8+c=9 \cr \cr a=2 \cr \cr b=1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} c=1 \cr \cr a=2 \cr \cr b=1 \end{cases}
On en déduit qu'une équation de la parabole de P est y=2x^2+x+1.
Soit la parabole P d'équation : y=ax^2+bx+c
Quels sont les coefficients a, b et c tels que la parabole passe par les points A\left(-1;-2\right), B\left(1;4\right) et C\left(-2;1\right) ?
Mise en place du système
Les points A, B et C appartiennent à P si et seulement si leurs coordonnées respectives vérifient l’équation de la parabole.
En remplaçant les coordonnées de chacun des trois points dans l'équation de P , on obtient le système suivant :
\begin{cases} a\times\left(-1\right)^2+b\times\left(-1\right)+c=-2 \cr \cr a\times1^2+b\times1+c=4 \cr \cr a\times\left(-2\right)^2+b\times\left(-2\right)+c=1 \end{cases}
Résolution du système
\begin{cases} a\times\left(-1\right)^2+b\times\left(-1\right)+c=-2 \cr \cr a\times1^2+b\times1+c=4 \cr \cr a\times\left(-2\right)^2+b\times\left(-2\right)+c=1 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a-b+c=-2 \cr \cr a+b+c=4 \cr \cr 4a-2b+c=1 \end{cases}
En soustrayant membre à membre la première ligne à la deuxième ligne (pour faire disparaître les inconnues a et c de la deuxième équation), on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} a-b+c=-2 \cr \cr 2b=6 \cr \cr 4a-2b+c=1 \end{cases}
On en déduit que b = 3 , puis en remplaçant cette valeur de b dans les deux autres équations on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} a-3+c=-2 \cr \cr b=3 \cr \cr 4a-6+c=1 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a+c=1 \cr \cr b=3 \cr \cr 4a+c=7 \end{cases}
En soustrayant membre à membre la première ligne à la troisième ligne (pour faire disparaître l'inconnue c de la troisième équation), on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} a+c=1 \cr \cr b=3 \cr \cr 3a=6 \end{cases}
On en déduit que a = 2 , puis en remplaçant cette valeur de a dans la première équation on obtient enfin la valeur de c :
\Leftrightarrow \begin{cases} 2+c=1 \cr \cr b=3 \cr \cr a=2 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} c=-1 \cr \cr b=3 \cr \cr a=2 \end{cases}
On en déduit qu'une équation de la parabole de P est y=2x^2+3x-1.