Soit la parabole P d'équation : y=ax^2+bx+c
Quels sont les coefficients a, b et c tels que la parabole P ait pour sommet S\left(2;3\right) et passe par le point A\left(3;2\right) ?
Mise en place du système
On sait que l'abscisse du sommet est égal à \dfrac{-b}{2a}. Ainsi \dfrac{-b}{2a}=2.
De plus la parabole P passe par les points S\left(2;3\right) et A\left(3;2\right). Ainsi Les coordonnées de ces deux points vérifient l'équation de P.
Finalement on obtient le système suivant :
\begin{cases}\dfrac{-b}{2a}=2 \cr \cr a\times2^2+b\times2+c=3 \cr \cr a\times3^2+b\times3+c=2 \end{cases}
Résolution du système
\begin{cases}\dfrac{-b}{2a}=2 \cr \cr a\times2^2+b\times2+c=3 \cr \cr a\times3^2+b\times3+c=2 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}b=-4a \cr \cr 4a+2b+c=3 \cr \cr9a+3b+c=2 \end{cases}
On remplace b par -4a dans la deuxième et troisième ligne.
\Leftrightarrow\begin{cases}b=-4a \cr \cr 4a+2\left(-4a\right)+c=3 \cr \cr9a+3\left(-4a\right)+c=2 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}b=-4a \cr \cr -4a+c=3 \cr \cr-3a+c=2 \end{cases}
En soustrayant membre à membre la deuxième ligne à la troisième ligne (pour faire disparaître l'inconnue c de la troisième équation), on obtient :
\Leftrightarrow\begin{cases}b=-4a \cr \cr -4a+c=3 \cr \cr a=-1 \end{cases}
On en déduit que a=-1, puis en remplaçant cette valeur de a dans la première et la deuxième équation on obtient :
\Leftrightarrow\begin{cases}b=4 \cr \cr 4+c=3 \cr \cr a=-1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}b=4 \cr \cr c=-1 \cr \cr a=-1 \end{cases}
On en déduit qu'une équation de la parabole de P est y=-x^2+4x-1.
Soit la parabole P d'équation : y=ax^2+bx+c
Quels sont les coefficients a, b et c tels que la parabole P ait pour sommet S\left(2;11\right) et passe par le point A\left(4;3\right) ?
Soit la parabole P d'équation : y=ax^2+bx+c qui passe par les points A\left(3;7\right), B\left(0;4\right) et C\left(-1;-5\right).
Quelle proposition correspond à une équation de P ?
Soit la parabole P d'équation : y=ax^2+bx+c, courbe représentative de la fonction f.
Quelle proposition correspond à une équation de P telle que f\left(2\right)=10, f\left(-2\right)=6 et f\left(-1\right)=4 ?
Soit la parabole P d'équation : y=ax^2+bx+c
Quelle est l'équation de la parabole P représentée ci-dessous ?
Soit la parabole P d'équation : y=ax^2+bx+c qui passe par les points A\left(1;7\right), B\left(-2;-5\right) et C\left(3;5\right).
Quelle proposition correspond à une équation de P ?