La fonction f : x \mapsto \dfrac{1}{x} est-elle continue ? (plusieurs réponses possibles)
La fonction f(x) = \dfrac{1}{x} n'est pas définie en x = 0 car le dénominateur s'annule.
On a :
\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = - \infty) et \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = + \infty
Ainsi, f n'est pas continue en 0 . En revanche, elle est continue sur \mathbb{R}_+ .
La fonction f n'est donc pas continue en 0 mais continue sur \mathbb{R}_+ .
La fonction f : x \mapsto x^2 est-elle continue ?
On a :
\forall a \in \mathbb{R}^+, \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} f(x), \forall x \in \mathbb{R}
Ainsi, f : x \mapsto x^2 est continue sur \mathbb{R} .
La fonction f est donc continue sur \mathbb{R} .
La fonction f : x \mapsto \cos(x) est-elle continue ?
On a :
\forall a \in \mathbb{R}^+, \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} f(x), \forall x \in \mathbb{R}
Ainsi, f : x \mapsto \cos(x) est continue sur \mathbb{R} .
La fonction f est donc continue sur \mathbb{R} .
La fonction f : x \mapsto \sqrt{x} est-elle continue ?
La fonction est définie sur \mathbb{R}_+ .
On a :
\forall a \in \mathbb{R}^+, \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} f(x), \forall x \in \mathbb{R} .
Ainsi, f : x \mapsto \sqrt{x} est continue sur \mathbb{R}_+ .
La fonction f est donc continue sur \mathbb{R}_+ .
La fonction f : x \mapsto |x| est-elle continue ?
On a :
\forall a \in \mathbb{R}^+, \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} f(x), \forall x \in \mathbb{R} .
Ainsi, f : x \mapsto |x| est continue sur \mathbb{R} .
La fonction f est donc continue sur \mathbb{R} .