On se propose d'étudier l'équation (1) : x^3 +1=3x.

Pour cela, on pose f(x) = x^3-3x+1 sur \mathbb{R}.

Quel est le nombre de solutions de l'équation (1) ?

f(x)=0 a trois solutions sur \mathbb{R}.

f(x)=0 a deux solutions sur \mathbb{R}.

f(x)=0 a une solution sur \mathbb{R}.

f(x)=0 n'a pas de solution sur \mathbb{R}.

On cherche à écrire un algorithme qui détermine une valeur approchée des solutions à l'équation (1) par dichotomie.

Cet algorithme fonctionne comme suit :

On initialise un intervalle [a;b] contenant uniquement une solution de (1).
On calcule le milieu de cet intervalle que l'on nomme c.
On calcule f(a)\times f(c) . Si cette valeur est négative, alors la solution de l'équation appartient à [a;c], donc on pose b=c.
Sinon la solution appartient à [c;b], donc on pose a=c.
On réitère ce processus n fois.

L'idée derrière cet algorithme est de réduire l'intervalle autour de la solution.

Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à l'écriture de cet algorithme en Python ?

def f(x) :

return x**3−3*x+1

def dicho(a,b,n) :

"""IN: un intervalle [a,b] d'itération et un nombre

OUT : un intervalle restreint auquel appartient une solution de l'équation"""

for i in range(n) : #on itère n fois

c=(a+b)/2 #on calcule le milieu de l'intervalle

if f(a)*f(c) <=0 :

b=c #si f(a)*f(c)<=0 alors la solution appartient à [a;c] donc on réduit l'intervalle en enlevant [c;b]

else :

a=c #inversement

return a,b

def f(x) :

return x**3−3*x+1

def dicho(a,b,n) :

"""IN: un intervalle [a,b] d'itération et un nombre

OUT : un intervalle restreint auquel appartient une solution de l'équation"""

for i in range(n) : #on itère n fois

c=(a+b)/2 #on calcule le milieu de l'intervalle

if f(a)*f(c) <=0 :

a=c #si f(a)*f(b)<=0 alors la solution appartient à [a;c] donc on réduit l'intervalle en enlevant [a;c]

else :

b=c #inversement

return a,b

def f(x) :

return x**3−3*x+1

def dicho(a,b,n) :

"""IN: un intervalle [a,b] d'itération et un nombre

OUT : un intervalle restreint auquel appartient une solution de l'équation"""

for i in range(n−1) : #on itère n−1 fois

c=(a-b)/2 #on calcule le milieu de l'intervalle

if f(a)*f(b) <=0 :

b=c #si f(a)*f(b)<=0 alors la solution appartient à [a;c] donc on réduit l'intervalle en enlevant [b;c]

else :

a=c #inversement

return a,b

def f(x) :

return x**3−3*x+1

def dicho(a,b,n) :

"""IN: un intervalle [a,b] d'itération et un nombre

OUT : un intervalle restreint auquel appartient une solution de l'équation"""

for i in range(n) : #on itère n fois

c=(a-b)/2 #on calcule le milieu de l'intervalle

if f(a)*f(b) >=0 :

b=c #si f(a)*f(b)<=0 alors la solution appartient à [a;c] donc on réduit l'intervalle en enlevant [b;c]

else :

a=c #inversement

return a,b

D'après les fonctions écrites à la question précédente, quelles sont les trois valeurs approchées des solutions de f(x)=0 ?

Les solutions trouvées sont :

x_1 \approx −1{,}88
x_2 \approx 0{,}35
x_3 \approx 1{,}53

Les solutions trouvées sont :

x_1 \approx −2{,}3
x_2 \approx 0{,}58
x_3 \approx 1{,}36

Les solutions trouvées sont :

x_1 \approx −3{,}6
x_2 \approx −0{,}36
x_3 \approx 1{,}87

Les solutions trouvées sont :

x_1 \approx −3{,}36
x_2 \approx 0{,}21
x_3 \approx 4{,}25