Soit la suite u définie sur \mathbb{N} par u_{n+1} = \dfrac{1}{2} u_n +1 et u_0 = -1 .
Quel graphique correspond à la courbe représentative C_f de la fonction f définie par f(x) = 0{,}5 x + 1 et la droite d d'équation y = x ?
La droite d'équation y=x est représentée, en rouge, dans chacun des cas : il s'agit d'une fonction linéaire de coefficient directeur égal à 1. Ensuite, on sait que la droite d'équation y=0{,}5x+1 passe par le point A(0;1) et a un coefficient directeur égal à 0{,}5.
Le graphique solution correspond :
1) à la droite rouge passant par les points de coordonnées (0{,}0) et (1{,}1) ;
2) à la droite verte passant par les points de coordonnées (0{,}1) et (2{,}2).
Que peut-on dire de u_n ?
On va montrer par récurrence que -1 \leq u_n \leq 2 .
Soit la propriété P_n : -1 \leq u_n \leq 2 .
Initialisation :
Pour n = 0 , u_0 = -1 .
Et on a bien :
-1 \leq -1 \leq 2
Donc P_0 est vraie.
On suppose la propriété vraie pour un entier n fixé.
On a :
-1 \leq u_n \leq 2
-\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{1}{2} u_n \leq 1
-1 \leq \dfrac{1}{2} \leq \dfrac{1}{2} u_n + 1\leq \dfrac{3}{2} \leq 2
Ce qui implique que P_{n+1} est vraie.
On a montré l'hérédité de la propriété. On peut donc conclure que P_n est vraie pour tout entier n \in \mathbb{N} .
Ainsi, -1 \leq u_n \leq 2 .
Quel est le sens de variation de la suite u ?
Pour tout entier n, on a :
u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{2}u_n+1-u_n=-\frac{1}{2}u_n+1
Or, on sait que u_n\leq 2 pour tout entier n et donc :
-\frac{1}{2}u_n\geq -1 et -\frac{1}{2}u_n+1\geq 0
Ce qui montre que u_{n+1}-u_n\geq 0 pour tout entier n.
u est donc croissante.
Que peut-on dire sur la convergence de la suite u ?
La suite u est croissante et majorée par 2, donc elle converge vers une limite l .
Ainsi, la suite u converge.
Quelles sont les solutions dans \left[ -1; 2 \right] de f(x) = x ?
L'équation f(x) = x équivaut à :
f(x) = x \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} x + 1 = x
\dfrac{1}{2} x + 1 = x \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} x = 1
\dfrac{1}{2} x + 1 = x \Leftrightarrow x = 2
Ainsi, les solutions dans \left[ -1; 2 \right] de f(x) = x sont \left\{ 2 \right\} .
Quelle est la limite de la suite u ?
Comme u est convergente vers l\in [-1;2] et que f est continue sur l'intervalle \left[ -1; 2 \right] , on en déduit que f(u_n) converge vers f(l).
Comme u_{n+1} converge aussi vers l et que u_{n+1}=f(u_n), on en déduit que f(l)=l, et donc l=2 par la question précédente.
Ainsi, l = 2 .