Soit la suite u définie sur \mathbb{N} par u_{n+1} = \sqrt{1-u_n} et u_0 = 0{,}8 .
Quel graphique correspond à la courbe représentative C_f de la fonction f définie par f(x) = \sqrt{1 - x} et la droite d d'équation y = x ?
La droite d'équation y = x permet de reporter les termes de la suite u_n sur l'axe des abscisses.
On place u_0 sur l'axe des abscisses, on construit u_1 = f(u_0) et on reporte u_1 sur l'axe des abscisses en utilisant la droite d .
On peut ensuite déterminer u_2 = f(u_1) , que l'on reporte sur l'axe des abscisses avec la droite d , et ainsi de suite.
Le graphique qui convient est donc :
Que peut-on dire de u_n ?
On va montrer par récurrence que 0\leq u_n\leq 1.
On note, pour tout entier naturel n, \mathcal{P}_n la proposition :
« 0\leq u_n\leq 1 »
Initialisation :
u_0=0{,}8 et 0\leq 0{,}8\leq 1
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
Soit un entier n quelconque fixé.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire 0\leq u_n\leq 1.
On cherche alors à montrer que \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire 0\leq u_{n+1}\leq 1.
Par hypothèse de récurrence, on a :
0\leq u_n\leq 1
On en déduit :
-1\leq -u_n\leq 0
Puis :
0\leq 1-u_n\leq 1
Puis \sqrt{0}\leq \sqrt{1-u_n}\leq \sqrt{1} car la fonction racine carrée est croissante sur \mathbb{R}_+.
Or, 0=\sqrt{0} et \sqrt{1}=1.
On a donc bien :
0\leq u_{n+1}\leq 1
\mathcal{P}_{n+1}
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
On a donc bien :
0\leq u_n\leq 1 pour tout entier naturel n.
Ainsi, 0 \leq u_n \leq 1 .
Quel est le sens de variation de la suite u ?
On a :
u_0 = 0{,}8
u_1 = 0{,}4
et
u_2 = 0{,}77
u n'est donc pas monotone.
Quel est l'ensemble des solutions dans \left[ 0; 1 \right] de l'équation f(x) = x ?
L'équation f(x) = x équivaut à \sqrt{1 - x} = x \Leftrightarrow 1-x = x^2 car on a nécessairement x \in [0 ; 1].
\sqrt{1 - x} = x \Leftrightarrow x^2 + x - 1 = 0
On obtient une équation du second degré dont le discriminant est ( \Delta = 5 \).
Donc x_1 = \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2} < 0 et x_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} \in [0;1] .
L'unique solution de f(x) = x est donc : \left\{ \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} \right\} .
On admet que la suite u est convergente.
Quelle est la limite de u ?
Comme u est convergente et que f est continue sur l'intervalle \left[ 0; 1 \right] , elle converge vers \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} , solution unique de l'équation f(x) = x sur l'intervalle \left[ 0; 1 \right] .
Ainsi, l = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} .