Quelles sont les solutions de l'équation (E) : f(x) = 4 ?
Avec f la fonction définie par f(x) = x + 1 + \frac{1}{x + 1} .
Pour résoudre une équation, on isole la variable d'un côté.
Pour tout réel x différent de -1, on a :
x + 1 + \frac{1}{x + 1} = 4 \Leftrightarrow (x+1)^2 + 1 = 4(x+1)
x + 1 + \frac{1}{x + 1} = 4 \Leftrightarrow x^2 + 2x + 1 = 4x+3
x + 1 + \frac{1}{x + 1} = 4 \Leftrightarrow x^2 - 2x -2 = 0
On remarque que \left\{1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}\right\} sont solutions de l'équation du second degré précédente, donc :
x + 1 + \frac{1}{x + 1} = 4 \Leftrightarrow x \in \left\{1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}\right\}
Donc \left\{1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}\right\} .
Quelles sont les solutions de l'équation (E) : f(x) = 2 ?
Avec f la fonction définie par f(x) = \sqrt{3 x + 4} .
Pour résoudre une équation, on isole la variable d'un côté :
\sqrt{3 x + 4} = 2 \Leftrightarrow \begin{cases} 3x+4 = 4 \cr \cr 3x+4\geq 0 \end{cases}
\sqrt{3 x + 4} = 2 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \cr \cr x \geq -\dfrac{4}{3} \end{cases}
Cette solution est valide, donc \left\{0\right\} .
Quelles sont les solutions de l'équation (E) : f(x) = -1 ?
Avec f la fonction définie par f(x) = \frac{x - 3}{x + 2} .
Pour résoudre une équation, on isole la variable d'un côté.
Pour tout nombre réel x différent de -2, on a :
\frac{x - 3}{x + 2} = -1 \Leftrightarrow x - 3 = -(x + 2)
\frac{x - 3}{x + 2} = -1 \Leftrightarrow 2x = 1
\frac{x - 3}{x + 2} = -1 \Leftrightarrow x \in \left\{\frac{1}{2}\right\}
Donc \left\{\frac{1}{2}\right\} .
Quelles sont les solutions de l'équation (E) : f(x) = 0 ?
Avec f la fonction définie par f(x)=\cos(2x)+\cos(x) sur \left[ 0;2\pi \right].
On sait que \cos(2x)=2\cos^{2}(x) - 1.
Donc l'équation est équivalente à :
2\cos^{2}(x)+\cos(x)-1=0
On pose y=\cos(x).
On détermine les solutions de l'équation 2y^{2}+y-1=0.
En calculant le discriminant, on voit que les solutions de cette équation sont :
y=-1 et y=\dfrac{1}{2}
On en déduit donc que \cos(2x)+\cos(x)=0 si et seulement si \cos(x)=-1 ou \cos(x)=\dfrac{1}{2}.
Puisqu'on cherche les solutions uniquement dans \left[ 0;2\pi \right], l'ensemble des solutions est donc \left\{ \dfrac{\pi}{3};\dfrac{5\pi}{3};\pi \right\}.
Quelles sont les solutions de l'équation (E) : f(x) = 2 ?
Avec f la fonction définie par f(x) = \frac{4 x}{x - 1} .
Pour résoudre une équation, on isole la variable d'un côté.
Pour tout nombre réel x différent de 1, on a :
\frac{4 x}{x - 1} = 2 \Leftrightarrow 4 x = 2(x-1)
\frac{4 x}{x - 1} = 2 \Leftrightarrow 2 x = -2
\frac{4 x}{x - 1} = 2 \Leftrightarrow x \in \left\{-1\right\}
Donc \left\{-1\right\} .