Soit la suite u définie sur \mathbb{N} par u_{n+1} = u_n - \dfrac{\ln(1+u_n)}{1+u_n} et u_0 = 4 .
Quel graphique correspond à la courbe représentative C_f de la fonction f définie par f(x) = x - \frac{\ln{\left(x + 1 \right)}}{x + 1} et la droite d d'équation y = x ?
La fonction f n'est pas définie pour x<-1 et vaut 0 en 0. On remarque ensuite que f(1)=1-\ln(2)/2\approx 0{,}653>0.
Le seul graphique valable est celui qui correspond à une courbe rouge toujours au-dessus de l'axe des abscisses.
Que peut-on dire de u_n ?
On va montrer par récurrence que 0 \leq u_n \leq 4 .
Soit, pour tout entier n, la propriété P_n : 0 \leq u_n \leq 4 .
Pour n = 0 , u_0 = 4 .
On a bien :
0 \leq 4 \leq 4
Donc P_0 est vraie.
On suppose que la propriété vraie pour un entier n fixé.
La fonction f : x \mapsto x - \dfrac{\ln(1+x)}{1+x} est croissante sur [0;4] , donc :
f(0) \leq f(u_n) = u_{n+1} \leq f(4)
0 \leq u_{n+1} \leq 4 - \dfrac{\ln(5)}{5} \approx 3{,}67 \leq 4
Ce qui implique que P_{n+1} est vraie.
On a montré l'hérédité de la propriété. On peut donc conclure que P_n est vraie pour tout entier n \in \mathbb{N} .
Ainsi, 0 \leq u_n \leq 4 .
Quel est le sens de variation de la suite u ?
Pour tout entier n, on a :
u_{n+1}-u_n=u_n-\frac{\ln(1+u_n)}{1+u_n}-u_n=-\frac{\ln(1+u_n)}{1+u_n}
Mais, par la question précédente, on sait que u_n\in[0;4] et donc \ln(1+u_n)\geq 0 et 1+u_n\geq 0.
On en déduit que :
u_{n+1}-u_n=-\frac{\ln(1+u_n)}{1+u_n}\leq
u est donc décroissante.
Que peut-on dire sur la convergence de la suite u ?
La suite (u_n)_n est décroissante et minorée par 0 .
Elle converge donc vers une limite l .
Quel est l'ensemble solution dans \left[ 0; 4 \right] de l'équation f(x) = x ?
L'équation f(x) = x équivaut à :
f(x) = x \Leftrightarrow x- \frac{\ln{\left(x + 1 \right)}}{x + 1} = x
f(x) = x \Leftrightarrow \frac{\ln{\left(x + 1 \right)}}{x + 1} = 0
Comme x+1\neq 0, l'équation devient \ln(x+1)=0 et donc x+1=1 puis x=0.
L'ensemble solution est donc \left\{ 0 \right\} .
Quelle est la limite de la suite u ?
Comme la suite u converge vers l\in [0;4] et que f est continue sur l'intervalle \left[ 0; 4 \right] , on en déduit que f(u_n) converge vers f(l).
On sait alors que u_{n+1} converge aussi vers l et donc l=f(l) avec l\in [0;4]. Par la question précédente, on trouve l=0.
La suite converge donc vers l=0 .