Soit f dont le tableau de variations est le suivant :
Combien de solutions admet l'équation f(x) = 0 ?
On suppose que f est strictement monotone quand le contraire n'est pas explicite.
D'après le tableau de variations, f est continue sur ]-56;10[.
En particulier, f est continue sur ]-56;\pi], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, toutes les valeurs supérieures ou égales à -5 admettent au moins un antécédent par f dans l'intervalle ]-56;\pi].
Comme indiqué dans l'énoncé, on suppose que f est strictement monotone dans l'intervalle ]-56;\pi], d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans cet intervalle.
On peut appliquer le même raisonnement sur l'intervalle [\pi;10[.
L'équation admet donc deux solutions.
Soit f dont le tableau de variations est le suivant :
Combien de solutions admet l'équation f(x) = 4 ?
On suppose que f est strictement monotone quand le contraire n'est pas explicite.
D'après le tableau de variations, f est continue sur [-10;10[.
En particulier f est continue sur [5;10[, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, toutes les valeurs supérieures ou égales à -10 admettent au moins un antécédent par f dans l'intervalle [5;10[.
Comme indiqué dans l'énoncé, on suppose que f est strictement monotone dans l'intervalle [5;10[, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 4 admet une unique solution dans cet intervalle.
Cette équation n'admet pas d'autre solution car, pour tout réel x \in [-10;5], f(x) \leqslant 2 .
L'équation admet donc une solution.
Soit f dont le tableau de variations est le suivant :
Combien de solutions admet l'équation f(x) = 12 ?
On suppose que f est strictement monotone quand le contraire n'est pas explicite.
D'après le tableau de variations, f est continue sur [-10;10].
En particulier, f est continue sur [-10;-5], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, toutes les valeurs comprises entre 10 et 20 admettent au moins un antécédent par f sur l'intervalle [-10;-5].
Comme indiqué dans l'énoncé, on suppose que f est strictement monotone dans l'intervalle [-10;-5], d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 12 admet une unique solution dans cet intervalle.
On peut appliquer le même raisonnement dans les intervalles suivants : [-5;0] et [0;5], l'équation f(x) = 12 admet une unique solution dans chacun de ces intervalles.
En outre, f(x) = 12 n'admet pas de solution sur [5;10].
L'équation admet donc trois solutions.
Soit f dont le tableau de variations est le suivant :
Combien de solutions admet l'équation f(x) = -2 ?
On suppose que f est strictement monotone quand le contraire n'est pas explicite.
D'après le tableau de variations, f est continue sur [-10;10].
En particulier f est continue sur [-10;-5], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, toutes les valeurs comprises entre -20 et 20 admettent au moins un antécédent par f dans l'intervalle [-10;-5].
Comme indiqué dans l'énoncé, on suppose que f est strictement monotone dans l'intervalle [-10;-5], d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = -2 admet une unique solution dans cet intervalle.
On peut appliquer le même raisonnement dans les intervalles suivants : [-5;0], [0;5] et [5;10], l'équation f(x) = -2 admet une unique solution dans chacun de ces intervalles.
L'équation admet donc quatre solutions.
Soit f dont le tableau de variations est le suivant :
Combien de solutions admet l'équation f(x) = -10 ?
On suppose que f est strictement monotone quand le contraire n'est pas explicite.
D'après le tableau de variations, f est continue sur [-10;10[.
La valeur x=-5 est une solution évidente de l'équation f(x) = -10.
Comme indiqué dans l'énoncé, on suppose que f est strictement monotone sur les intervalles [-10, 5] et [5{,}10].
Ainsi, f(x) \gt -5 sur [-10, 5[ et ]5{,}10[.
L'équation admet donc une solution.