Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = e^x .
Quel est le nombre n de solutions de l'équation f(x) = 2 ?
On a f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f(x) = e^x
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur \mathbb{R}.
De plus :
\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0
Et :
\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty
Or, 2\in ]0;+\infty[.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution à l'équation f(x) = 2 .
Ainsi, le nombre de solutions à l'équation proposée est n = 1 .
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^2 .
Quel est le nombre n de solutions de l'équation f(x) = 4 ?
On a f, la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f(x) = x^2
La fonction carré est continue sur \mathbb{R}.
Elle est strictement décroissante sur ] -\infty; 0] et strictement croissante sur [ 0; +\infty[ .
De plus :
\lim\limits_{x \to -\infty} x^2 = +\infty
\lim\limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty
Et :
f(0) = 0
Or, 4\in [0;+\infty[.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution à l'équation f(x) = 4 sur \mathbb{R}^-
Et une unique solution à l'équation f(x) = 4 sur \mathbb{R}^+.
Ainsi, le nombre de solutions à l'équation proposée est n = 2 .
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}^{\star} par f(x) = \dfrac{1}{x} .
Quel est le nombre n de solutions de l'équation f(x) = -1 ?
On a f la fonction définie sur \mathbb{R}^{\star} par :
f(x) = \dfrac{1}{x}
La fonction inverse est continue et strictement décroissante sur ] -\infty; 0[ .
La fonction inverse est continue et strictement décroissante sur ] 0; +\infty[ .
De plus :
\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x} = 0
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0
\lim\limits_{x \to 0^{-}} \dfrac{1}{x} = - \infty
Et :
\lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{1}{x} = + \infty
Or, -1\in]-\infty;0[ mais 0\not \in ]0;+\infty[.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution à l'équation f(x) = -1 sur \mathbb{R}_-^{\star}.
Et il n'existe pas de solution à l'équation f(x) = -1 sur \mathbb{R}_+^{\star}.
Ainsi, le nombre de solutions à l'équation proposée est n = 1 .
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}_+^{\star} par f(x) = \ln(x).
Quel est le nombre n de solutions de l'équation f(x) = 12 ?
On a f la fonction définie sur \mathbb{R}_+^{\star} par :
f(x) = \ln(x)
La fonction logarithme est continue et strictement croissante sur \mathbb{R}_+^{\star}.
De plus : \lim\limits_{x \to -\infty} \ln(x) = 0
Et :
\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty
Or, 12\in ]-\infty;+\infty[.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution à l'équation f(x) = 12 sur \mathbb{R}_+^{\star} \).
Ainsi, le nombre de solutions à l'équation proposée est n = 1 .
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}_+ par f(x) = \sqrt{x}.
Quel est le nombre n de solutions de l'équation f(x) = -8 ?
On a f la fonction définie sur \mathbb{R}_+ par :
f(x) = \sqrt{x}
La fonction racine carrée est continue et strictement croissante sur \mathbb{R}_+.
De plus :
f(0) = 0
Et : \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt(x) = +\infty
Or, -8\not\in [0;+\infty[.
Donc le nombre de solutions à l'équation proposée est n = 0 .