On considère la suite u définie par :
u_{n+1} = 0{,}7 u_{n} + 3 et u_0 = 6
On admet que cette suite converge.
Quelle est sa limite ?
Soit une fonction f définie et continue sur un intervalle I , et u une suite à valeurs dans I telle que :
u_{n+1} = f(u_n) , pour tout n \in \mathbb{N}
Alors si u converge vers une limite l \in I , alors f(l) = l .
Ici, f:x\mapsto 0{,}7 x + 3 est continue sur \mathbb{R} et l'intervalle I= \left[ 0; 10 \right] semble stable par f.
Pour tout x dans I, f(x) \in I car 0\leq x\leq10 donne 0\leq0{,}7x+3\leq10.
u_0 = 6 donc u_{0} \in I.
On admet que la suite u converge vers une limite l , donc :
f(l) = l \Leftrightarrow 0{,}7 l + 3 = l
f(l) = l \Leftrightarrow 3 = 0{,}3 l
f(l) = l \Leftrightarrow l = 10
Ainsi, la suite u converge vers l = 10 .
On considère la suite u définie par :
u_{n+1} = \sqrt{4 u_n} et u_0 = 2
On admet que cette suite converge.
Quelle est sa limite ?
Soit une fonction f définie et continue sur un intervalle I , et u une suite à valeurs dans I telle que :
u_{n+1} = f(u_n) , pour tout n \in \mathbb{N}
Si u converge vers une limite l \in I , alors f(l) = l .
Ici, f:x\mapsto 2 \sqrt{x} est continue sur [0;+\infty[ et l'intervalle I= \left[ 0; 4 \right] semble stable par f.
Pour tout x dans I, f(x) \in I car 0\leq x\leq4 donne 0\leq 2\sqrt{x}\leq2.
u_0 = 2 donc u_{0} \in I.
On admet que la suite u converge vers une limite l , donc :
f(l) = l \Leftrightarrow 2 \sqrt{l} = l
f(l) = l \Leftrightarrow l \in \left\{ 0; 4 \right\}
u converge donc soit vers 0 , soit vers 4 .
On peut conjecturer à l'aide du graphe que la suite est croissante.
Ainsi, l = 4 .
On considère la suite u définie par :
u_{n+1} = u_{n}^3 - u_{n} et u_0 = -0{,}5
On admet que cette suite converge.
Quelle est sa limite ?
Soit une fonction f définie et continue sur un intervalle I , et u une suite à valeurs dans I telle que :
u_{n+1} = f(u_n) , pour tout n \in \mathbb{N}
Si u converge vers une limite l \in I , alors f(l) = l .
Ici, f:x\mapsto x^{3} - x est continue sur \mathbb{R} et l'intervalle I= \left[ -1 ; 1 \right] semble stable par f.
Pour tout x dans I, f(x) \in I car -1\leq x\leq1 donne -1\leq x^{3}-x\leq1.
u_0 = -0{,}5 donc u_{0} \in I.
On admet que la suite u converge vers une limite l , donc :
f(l) = l \Leftrightarrow l^{3} - l = l
f(l) = l \Leftrightarrow l \in \left\{ -\sqrt{2} ; 0; \sqrt{2} \right\}
Or, u_n \in [-1;1] pour tout n donc la seule solution est 0 .
Ainsi, la suite u converge vers l = 0 .
On considère la suite u définie par :
u_{n+1} = \sqrt{1-u_{n}} et u_0 = 0{,}8
On admet que cette suite converge.
Quelle est sa limite ?
Soit une fonction f définie et continue sur un intervalle I , et u une suite à valeurs dans I telle que :
u_{n+1} = f(u_n) , pour tout n \in \mathbb{N}
Si u converge vers une limite l \in I , alors f(l) = l .
Ici, f:x\mapsto \sqrt{1-x} est continue sur ]-\infty;1] et l'intervalle I= \left[ 0; 1 \right] semble stable par f.
Pour tout x dans I, f(x) \in I car 0\leq x\leq1 donne 0\leq \sqrt{1-x}\leq1.
u_0 = 0{,}8 donc u_{0} \in I
On admet que la suite u converge vers une limite l , donc :
f(l) = l \Leftrightarrow \sqrt{1 - l} = l
f(l) = l \Leftrightarrow 1 - l = l^2 ou 1 - l = -l^2
f(l) = l \Leftrightarrow l \in \left\{ -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2} \right\}
Ainsi, la suite u converge vers l = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2} .
On considère la suite u définie par :
u_{n+1} = \ln(u_{n})+1 et u_0 = 1{,}3
On admet que cette suite converge.
Quelle est sa limite ?
Soit une fonction f définie et continue sur un intervalle I , et u une suite à valeurs dans I telle que :
u_{n+1} = f(u_n) , pour tout n \in \mathbb{N}
Si u converge vers une limite l \in I , alors f(l) = l .
Ici, f:x\mapsto \ln{\left(x \right)}+1 est continue sur ]0;+\infty[ et l'intervalle I= \left[ 1 ; 2 \right] semble stable par f.
Pour tout x dans I, f(x) \in I car 1\leq x\leq2 donne 1\leq \ln{\left(x \right)}+1 \leq 1+\ln 2.
u_0 = 1{,}3 donc u_{0} \in I.
On admet que la suite u converge vers une limite l , donc :
f(l) = l \Leftrightarrow \ln{\left(l \right)} + 1 = l
l = 1 est une solution évidente de cette équation, et la fonction x \mapsto \ln(x) est strictement croissante donc l = 1 est l'unique solution.
Ainsi, la suite u converge vers l = 1 .