Dans le repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -2 \cr\cr 3 \cr\cr -4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
D'après le cours, soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} dans une base de l'espace.
Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
Ici, on a :
\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -2 \cr\cr 3 \cr\cr -4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}
On remarque que :
\dfrac{-2}{1} = -2 et \dfrac{3}{3} = 1
Les coordonnées de \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont donc pas proportionnelles.
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont donc pas colinéaires.
Dans le repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 0 \cr\cr \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cr\cr -\dfrac{2}{3} \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 2 \cr\cr \sqrt{3} \cr\cr -\dfrac{4}{3} \end{pmatrix}.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
D'après le cours, soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} dans une base de l'espace.
Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
Ici, on a :
\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 0 \cr\cr \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cr\cr -\dfrac{2}{3} \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 2 \cr\cr \sqrt{3} \cr\cr -\dfrac{4}{3} \end{pmatrix}
On remarque que :
\dfrac{0}{2} = 0 et \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2}
Les coordonnées de \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont donc pas proportionnelles.
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont donc pas colinéaires.
Dans le repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -6 \cr\cr 3 \cr\cr -4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -2 \cr\cr 1 \cr\cr \dfrac{-4}{3} \end{pmatrix}.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
D'après le cours, soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} dans une base de l'espace.
Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
Ici, on a :
\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -6 \cr\cr 3 \cr\cr -4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -2 \cr\cr 1 \cr\cr \dfrac{-4}{3} \end{pmatrix}
On remarque que :
\dfrac{-6}{-2} = \dfrac{3}{1} = \dfrac{-4}{\dfrac{-4}{3}} = 3
Les coordonnées de \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont donc proportionnelles.
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont donc colinéaires.
Dans le repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{5}}{2} \cr\cr \dfrac{3}{2} \cr\cr -4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -2\sqrt{5} \cr\cr 6 \cr\cr -16\end{pmatrix}.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
D'après le cours, soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} dans une base de l'espace.
Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
Ici, on a :
\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{5}}{2} \cr\cr \dfrac{3}{2} \cr\cr -4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -2\sqrt{5} \cr\cr 6 \cr\cr -16\end{pmatrix}
On remarque que :
\dfrac{-\dfrac{\sqrt{5}}{2}}{-2\sqrt{5}} = \dfrac{\dfrac{3}{2}}{6} = \dfrac{-4}{-16} = \dfrac{1}{4}
Les coordonnées de \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont donc proportionnelles.
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont donc colinéaires.
Dans le repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -\sqrt{2} \cr\cr \dfrac{3}{2} \cr\cr 6 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \cr\cr 1{,}5 \cr\cr \dfrac{24}{4} \end{pmatrix}.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
D'après le cours, soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} dans une base de l'espace.
Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
Ici, on a :
\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -\sqrt{2} \cr\cr \dfrac{3}{2} \cr\cr 6 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \cr\cr 1{,}5 \cr\cr \dfrac{24}{4} \end{pmatrix}
On remarque que :
- -\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3\times 2}}{\sqrt{3}}\\\Leftrightarrow -\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}\times \sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\\Leftrightarrow -\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = -\sqrt{2}
- \dfrac{3}{2} = 1{,}5
- 6 = \dfrac{6\times4}{4}\\\Leftrightarrow 6 = \dfrac{24}{4}
Les coordonnées de \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont égales.
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont donc égaux.