Lire les coordonnées d'un vecteur dans l'espace Exercice

En utilisant la relation Chasles, on peut écrire :

\overrightarrow{AT}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DT}

Comme T est le milieu de l'arête [DH], on a :

\overrightarrow{DT}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DH}

Comme ABCDEFGH est un cube, on a :

\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{AE}

On en déduit :

\overrightarrow{AT}=\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}

Dans le repère \left(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right), les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AT} sont donc :

\begin{pmatrix}0\\1\\\frac{1}{2}\end{pmatrix}

En utilisant la relation Chasles, on peut écrire :

\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}

Comme ABCDEFGH est un cube, on a :

\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}

On en déduit :

\overrightarrow{EC}=-\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}

Dans le repère \left(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right), les coordonnées du vecteur \overrightarrow{EC} sont donc :

\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}

En utilisant la relation Chasles, on peut écrire :

\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EP}

Comme P est le milieu de l'arête [EH], on a :

\overrightarrow{EP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EH}

Comme ABCDEFGH est un cube, on a :

\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AD}

On en déduit :

\overrightarrow{BP}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}

Dans le repère \left(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right), les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BP} sont donc :

\begin{pmatrix}-1\\\frac{1}{2}\\1\end{pmatrix}

En utilisant la relation Chasles, on peut écrire :

\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CS}

Comme S est le milieu de l'arête [CG], on a :

\overrightarrow{CS}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CG}

Comme ABCDEFGH est un cube, on a :

\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}

et \overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AE}

On en déduit :

\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}

Dans le repère \left(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right), les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AS} sont donc :

\begin{pmatrix}1\\1\\\frac{1}{2}\end{pmatrix}

En utilisant la relation Chasles, on peut écrire :

\overrightarrow{RT}=\overrightarrow{RB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DT}

Comme R est le milieu de l'arête [FB], on a :

\overrightarrow{RB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{FB}.

Comme T est le milieu de l'arête [DH], on a :

\overrightarrow{DT}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DH}.

Comme ABCDEFGH est un cube, on a :

\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{EA},

\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}

et \overrightarrow{DH}=\overrightarrow{AE}

On en déduit :

\overrightarrow{RT}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}

\overrightarrow{RT}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}

Dans le repère \left(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right), les coordonnées du vecteur \overrightarrow{RT} sont donc :

\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}