Soit ABCD un tétraèdre, c'est-à-dire une pyramide à base triangulaire.
On donne les coordonnées suivantes :
- A \:(3,-4{,}3)
- B \:(-2,-2{,}1)
- C \:(3{,}0,-2)
- D \:(4{,}1,-2)
Quelles sont les coordonnées de l'isobarycentre G des points A, B, C et D ?
Soit I, J, K, L les milieux respectifs des segments [AB], [CD], [BC] et [AD].
Quel est le point d'intersection des droites (IJ) et (KL) ?
Comme on connaît les coordonnées des différents points de l'énoncé, une approche possible mais fastidieuse serait ici de calculer directement les coordonnées du point d'intersection des droites.
Il existe néanmoins une approche beaucoup plus rapide, utilisant les propriétés du barycentre et notamment son associativité.
En effet, on a :
I est le milieu de [AB], donc I est le barycentre des points pondérés (A;1) et (B;1).
On rappelle la propriété de l'associativité du barycentre :
Soit G le barycentre de (A ; a) ;(B ; b); ( C ; c);(D;d) et soit I barycentre de ( A ; a ) ;( B ; b ).
Alors G est le barycentre de (C ; c ); ( D ;d );(I;a+b).
Ainsi G est ici le barycentre de (C,1);(D,1);(I,2).
Or, de la même façon, J étant le milieu de [CD], J est l'isobarycentre de C et D.
Donc par associativité du barycentre, G est le barycentre de (I,2);(J;2). G est donc le milieu du segment [IJ].
De manière analogue, on peut prouver que G est le milieu du segment [KL].
Ainsi, G est le point d'intersection des droites (IJ) et (KL).
G est donc le point d'intersection des droites (IJ) et (KL).
Soit A' l'isobarycentre du triangle BCD et B' l'isobarycentre du triangle ACD.
Quelle est l'intersection de (AA') et (BB') ?
De manière analogue à la question précédente, comme on connaît les coordonnées des différents points de l'énoncé, une approche possible mais fastidieuse serait ici de calculer directement les coordonnées du point d'intersection des droites.
Néanmoins, on peut de nouveau utiliser l'associativité du barycentre.
En effet, on a :
- A' est le barycentre de (B,1);(C,1);(D,1).
- G est le barycentre de (A,1);(B,1);(C,1);(D,1).
Ainsi, par associativité du barycentre, G est le barycentre de (A,1);(A',3).
G appartient donc à la droite AA'.
De manière analogue, on peut prouver que G appartient à la droite BB'.
Ainsi, G est le point d'intersection des droites (AA') et (BB').
G est donc le point d'intersection des droites (AA') et (BB').
L'isobarycentre des points A, B, C et D est le barycentre des points pondérés : (A,1);(B,1);(C,1);(D,1).
Ainsi les coordonnées de G sont une moyenne des coordonnées des points A, B, C et D, soit :
- x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C+x_D}{1+1+1+1} = \dfrac{8}{4}=2
- y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C+y_D}{1+1+1+1} = \dfrac{-5}{4}
- x_G=\dfrac{z_A+z_B+z_C+z_D}{1+1+1+1} = \dfrac{0}{4}=0
L'isobarycentre des points A, B, C et D est donc G \: \left(2;\dfrac{-5}{4};0\right).