Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l’espaceCours

I

Les vecteurs dans l'espace

On définit des vecteurs dans l'espace de la même façon que dans le plan. On retrouve ainsi toutes les notions vues en géométrie plane sur les vecteurs (opérations, colinéarité, etc.).

Translation

La translation qui transforme un point A en un point B est le glissement rectiligne défini par :

  • sa direction, la droite (AB) ;
  • son sens, « de A vers B » ;
  • sa longueur, AB.

ABCDEFGH est un cube.

La translation qui transforme A en D, transforme également E en H, F en G et B en C.

  • sa direction est la droite (AD) ;
  • son sens est « de A vers D » ;
  • sa longueur est AD.
définition translation

Vecteur de l'espace

On appelle vecteur de l'espace toute famille de couples de points de l'espace se correspondant par une même translation.

Un vecteur de l'espace est donc défini (comme dans le plan) par une direction, un sens et une longueur (ou norme).

Comme dans le plan, un vecteur est noté par une lettre sous une flèche comme par exemple \overrightarrow{u}.

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace.

Alors \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.

Soient A, B et C trois points de l'espace. On a :

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

ABCDEFGH est un cube.

On a :
\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AH}

-

Soient \overrightarrow{u} un vecteur non nul de l'espace et k un réel quelconque.

k\overrightarrow{u} est le vecteur de l'espace ayant :

  • la même direction que \overrightarrow{u} ;
  • le même sens que \overrightarrow{u} si k>0 et le sens opposé à celui de \overrightarrow{u} si k<0 ;
  • la longueur |k|\times \Vert\overrightarrow{u}\Vert.

 

Si k=0 ou \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}, alors k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}.

Soit \overrightarrow{u} un vecteur non nul de l'espace.

Le vecteur −2\overrightarrow{u} est le vecteur de l'espace défini par :

  • la direction de \overrightarrow{u} ;
  • le sens opposé à celui de \overrightarrow{u} ;
  • la longueur 2\times \Vert\overrightarrow{u}\Vert.

Vecteurs colinéaires

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace. On dit que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont deux vecteurs colinéaires s'il existe un réel k tel que :

\overrightarrow{u}=k\times \overrightarrow{v} ou \overrightarrow{v}=k\times \overrightarrow{u}

Soient A et B deux points distincts de l'espace.

Soit M le milieu du segment [AB].

Alors \overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.

Les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{AB} sont donc colinéaires.

définition vecteurs colinéaires

Combinaison linéaire de vecteurs

Soient \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}, ..., \overrightarrow{u_n} des vecteurs de l'espace.

On appelle combinaison linéaire des vecteurs \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}, ..., \overrightarrow{u_n} toute écriture du type :

\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\lambda_2\overrightarrow{u_2}+ ...+\lambda_n\overrightarrow{u_n}

\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n sont des réels quelconques.

Soient A, B et C trois vecteurs de l'espace.

−5\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC} est une combinaison linéaire des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.

II

Les droites et les plans dans l'espace

On peut définir des droites dans l'espace avec des vecteurs comme dans le plan, cela permet de définir des repères sur les droites. On peut également définir des plans dans l'espace et les caractériser à l'aide de points, de droites et de vecteurs et ainsi définir des bases et des repères sur ces plans. 

A

Les droites dans l'espace

Comme dans le plan, on peut parler de vecteur directeur d'une droite et ainsi définir des repères sur une droite de l'espace.

On considère un point O et un vecteur de l'espace non nul \overrightarrow{u}. Il existe une unique droite \mathcal{D} contenant le point O et ayant pour direction la direction de \overrightarrow{u}.

-

Vecteur directeur

Soit \mathcal{D} une droite de l'espace. Tout vecteur \overrightarrow{u} ayant la direction de la droite \mathcal{D} est appelé vecteur directeur de cette droite.

Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ont la même direction que la droite \mathcal{D}. Ce sont donc des vecteurs directeurs de cette droite.

définition vecteur directeur

Repère d'une droite

Soit \mathcal{D} une droite de l'espace. Tout couple \left(O; \overrightarrow{u}\right) où O est un point de la droite et \overrightarrow{u} un vecteur directeur de la droite est appelé repère de la droite \mathcal{D}.

Soient A et B deux points distincts de l'espace.

Alors \left(A; \overrightarrow{AB}\right) est un repère de la droite (AB).

définition repère d'une droite

Cette propriété et ces définitions sont les mêmes qu'en géométrie plane.

B

Les plans dans l'espace

Le nouvel objet mathématique que constitue le plan peut être décrit à partir de points, mais également de vecteurs et de droites.

Soient un point A et deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} non colinéaires de l'espace.

Alors il existe un unique plan \mathcal{P} contenant le point A, une droite ayant pour vecteur directeur \overrightarrow{u} et une droite ayant pour vecteur directeur \overrightarrow{v}.

-

Base d'un plan

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non colinéaires de l'espace.

Soient (d_1) une droite de vecteur directeur \overrightarrow{u} et (d_2) une droite de vecteur directeur \overrightarrow{v}.

Si un plan \mathcal{P} contient les deux droites (d_1) et (d_2), alors on dit que :

  • les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont des vecteurs directeurs du plan \mathcal{P} ;
  • le couple \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right) est une base du plan \mathcal{P}.

Repère d'un plan

Soient \mathcal{P} un plan de l'espace, A un point du plan et \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right) une base du plan.

Le triplet \left(A;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) est appelé repère du plan \mathcal{P}.

  • Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont des vecteurs directeurs non colinéaires du plan \mathcal{P}.
  • Le point A appartient au plan \mathcal{P}.

 

Le triplet \left(A;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) est un repère du plan \mathcal{P}.

définition repère d'un plan

On caractérise un plan à l'aide d'un point et deux vecteurs non colinéaires, ce qui revient au même que de le caractériser à l'aide de deux droites sécantes, ou trois points non alignés.

Comme trois points non alignés définissent un plan, on peut nommer un plan en citant trois points A, B et C par exemple. On note alors (ABC) pour signifier le plan qui passe par les trois points A, B et C.

Il ne faut pas oublier les parenthèses, sinon il s'agit du nom d'un triangle.

ABCDEFGH est un cube.

La notation (ABC) désigne le plan passant par les trois points A, B et C.

C'est le plan prolongeant la face ABCD.

La notation ABC désigne le triangle ABC.

-
III

Le repérage dans l'espace

Repérer les points et les vecteurs en géométrie plane permet d'introduire le calcul pour justifier des propriétés géométriques. C'est également possible dans l'espace où l'on peut créer des repères pour y repérer les points et vecteurs.

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace.

Soient \alpha et \beta deux réels quelconques.

On pose \overrightarrow{w}=\alpha\overrightarrow{u}+\beta\overrightarrow{v}.

On peut choisir des représentants des vecteurs \overrightarrow{u}\overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} appartenant à un même plan.

ABCDEFGH est un cube.

On pose :

  • \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB} ; 
  • \overrightarrow{v}=\overrightarrow{DH} ;
  • \overrightarrow{w}=\frac{1}{2}\overrightarrow{u}+\frac{1}{2}\overrightarrow{v}.

 

Alors :

  • \overrightarrow{AB} est un représentant du vecteur \overrightarrow{u} ;
  • \overrightarrow{AE} est un représentant du vecteur \overrightarrow{v} ;
  • \overrightarrow{IF} est un représentant du vecteur \overrightarrow{w}.

 

Ces trois représentants appartiennent au plan (ABF).

-

Vecteurs coplanaires

Lorsque des vecteurs admettent des représentants qui appartiennent à un plan, on dit que ces vecteurs sont coplanaires.

Deux vecteurs quelconques de l'espace sont nécessairement coplanaires.

Tout vecteur de l'espace peut se décomposer suivant trois vecteurs non coplanaires.

ABCDEFGH est un cube.

Les vecteurs \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} et \overrightarrow{AH} ne sont pas coplanaires.

On peut donc décomposer le vecteur \overrightarrow{AG} suivant ces trois vecteurs.

En effet, d'après le relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HG}

Comme ABCDEFGH est un cube, on a :
\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{AB}

On en déduit :
\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AB}

Soit :
\overrightarrow{AG}=1\times \overrightarrow{AB}+0\times \overrightarrow{AD}+1\times \overrightarrow{AH}

-

Repère de l'espace

Le quadruplet \left(A;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) est appelé repère de l'espace si :

  • A est un point de l'espace ;
  • \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath} et \overrightarrow{k} sont trois vecteurs non coplanaires de l'espace.

Soit \left(A;\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) un repère de l'espace et soit M un point de l'espace.

Il existe un unique triplet de réels (x;y;z) tels que :

\overrightarrow{AM}=x\times \overrightarrow{\imath}+y\times \overrightarrow{\jmath}+z\times \overrightarrow{k}

On appelle ce triplet les coordonnées du point M dans le repère \left(A;\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right).

ABCDEFGH est un cube.

L est le milieu de l'arête [CG].

R est le point de l'espace tel que \overrightarrow{AR}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AL}.

Le quadruplet (D;\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DH}) est un repère de l'espace.

Il existe donc un unique triplet (x;y;z) tel que :
\overrightarrow{DR}=x\times \overrightarrow{DA}+y\times \overrightarrow{DC}+z\times \overrightarrow{DH}

-

En effet, d'après la relation de Chasles on a :
\overrightarrow{DR}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AR}

Or \overrightarrow{AL}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AL}.

D'après la relation de Chasles, on a également :
\overrightarrow{AL}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CL}.

Comme L est le milieu de l'arête [CG], on a :
\overrightarrow{CL}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CG}

Ainsi :
\overrightarrow{DR}=\overrightarrow{DA}+2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CG}
\overrightarrow{DR}=\overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CG}

Comme ABCDEFGH est un cube, on a :
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{DA}
\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{DH}

On en déduit :
\overrightarrow{DR}=\overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DH}
\overrightarrow{DR}=3\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DH}

Donc le point L a pour coordonnées dans le repère (D;\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DH}) le triplet (0;3;\dfrac{1}{2}).

Soit \left(A;\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) un repère de l'espace et soit \overrightarrow{u} un vecteur de l'espace.

Il existe un unique triplet de réels (x;y;z) tels que :

\overrightarrow{u}=x\times \overrightarrow{\imath}+y\times \overrightarrow{\jmath}+z\times \overrightarrow{k}

On appelle ce triplet les coordonnées du vecteur \overrightarrow{u} dans la base \left(\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right).

ABCDEFHG est un cube.

Le quadruplet \left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right) est un repère de l'espace.

Le vecteur \overrightarrow{AG} admet donc une uniquement décomposition suivant les vecteurs \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} et \overrightarrow{AE}.

D'après le relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}

Comme ABCDEFGH est un cube, on a :
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}
\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AE}

On en déduit :
\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}

Soit : 
\overrightarrow{AG}=1\times \overrightarrow{AB}+1\times \overrightarrow{AD}+1\times \overrightarrow{AE}

-

Les propriétés des vecteurs dans le plan sont encore valables dans l'espace.

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} dans une base de l'espace.

Alors le vecteur \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} a pour coordonnées dans la même base :

\begin{pmatrix}x+x'\\y+y'\\z+z'\end{pmatrix}

On considère l'espace muni d'un repère.

Soient \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-5\\7\\2\end{pmatrix} deux vecteurs de l'espace donnés par leurs coordonnées dans la base du repère.

Alors, dans cette base, le vecteur \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} a pour coordonnées :
\begin{pmatrix}1+(-5)\\2+7\\3+2\end{pmatrix}

Soit : 
\begin{pmatrix}-4\\9\\5\end{pmatrix}

On considère l'espace muni d'un repère.

Soient \overrightarrow{u} un vecteur de coordonnées \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \alpha un réel quelconque.

Alors le vecteur \alpha\overrightarrow{u} a pour coordonnées dans la base du repère :
\begin{pmatrix}\alpha\times x\\\alpha\times y\\\alpha\times z\end{pmatrix}

On considère l'espace muni d'un repère.

Soit \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} un vecteur de l'espace donné par ses coordonnées dans la base du repère.

Alors, dans cette base, le vecteur 10\overrightarrow{u} a pour coordonnées :
\begin{pmatrix}10\times 1\\10\times 2\\10\times 3\end{pmatrix}

Soit :
\begin{pmatrix}10\\20\\30\end{pmatrix}

Dans l'espace muni d'un repère, on considère deux points A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B) donnés par leurs coordonnées dans ce repère.

Alors le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées \begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix} dans la base du repère.

Dans l'espace muni d'un repère, on a les points A(1;5;10) et B(−2;6;4).

Alors le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées, dans le base du repère :
\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix}

Soit :
\begin{pmatrix}-2-(-1)\\6-5\\4-10\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}-1\\1\\-6\end{pmatrix}

Dans l'espace muni d'un repère, on considère deux points A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B) donnés par leurs coordonnées dans ce repère.

Alors le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées :
\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)

Dans l'espace muni d'un repère, on a les points A(−1;5;10) et B(−2;6;4).

Alors le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées :
\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)
\left(\frac{1+(-2)}{2};\frac{5+6}{2};\frac{10+4}{2}\right)
\left(\frac{-1}{2};\frac{11}{2};7\right)

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} dans une base de l'espace.

Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles.

On considère l'espace muni d'un repère.

Soient \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-5\\7\\2\end{pmatrix} deux vecteurs de l'espace donnés par leurs coordonnées dans la base du repère.

On cherche un éventuel réel k tel que \overrightarrow{v}=k\times \overrightarrow{u}.

Or k\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}k\\2k\\3k\end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-5\\7\\2\end{pmatrix}

Donc \overrightarrow{v}=k\times \overrightarrow{u}\Leftrightarrow\begin{cases}k=-5\\2k=7\\3k=2\end{cases}

On obtient :
k=−5, k=\frac{7}{2} et k=\frac{2}{3}

C'est impossible.

Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont donc pas colinéaires.

IV

Les positions relatives de droites et plans dans l'espace

Les droites et les plans ont des positions relatives possibles qu'il convient de savoir décrire et justifier.

A

Les positions relatives d'une droite et d'un plan

Pour décrire la position relative d'une droite et d'un plan, on retrouve le vocabulaire de la géométrie plane.

Soient une droite (d) et un plan \mathcal{P} de l'espace. On a seulement trois positions possibles de (d) par rapport à \mathcal{P} :

  • (d) et \mathcal{P} se coupent en un seul point ;
  • (d) et \mathcal{P} n'ont aucun point commun ;
  • ou (d) est incluse dans \mathcal{P}.
-

Droite parallèle à un plan

Soit une droite (d) et un plan \mathcal{P} de l'espace. On dit que (d) est parallèle au plan \mathcal{P} lorsque :

  • (d) est contenue dans le plan \mathcal{P} ;
  • où (d) et \mathcal{P} n'ont aucun point commun.
-

Droite et plan sécants

Soit une droite (d) et un plan \mathcal{P} de l'espace. On dit que (d) et \mathcal{P} sont sécants lorsque que la droite (d) n'est pas parallèle au plan \mathcal{P}.

définition droite et plan sécants

Soit d une droite définie par un point A et un vecteur directeur \overrightarrow{u}. Soit \mathcal{P} un plan défini par un point B et deux vecteurs non colinéaires \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w}.

La droite d est parallèle au plan \mathcal{P} si, et seulement si, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont coplanaires.

Autrement dit, la droite d est parallèle au plan \mathcal{P} si, et seulement si, \overrightarrow{u} peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w}.

ABCDEFGH est un cube.

La droite EG est parallèle au plan (ABC).

-

En effet, on a :
\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{EH}, d'après la règle du parallélogramme.

Comme ABCDEFGH est un cube, on a :
\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AD}

On en déduit :
\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}

Comme \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AD} sont deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), ils définissent, avec le point A, le plan (ABC).

On obtient bien :
La droite (EG) est parallèle au plan (ABC).

Soit d une droite définie par un point A et un vecteur directeur \overrightarrow{u}. Soit \mathcal{P} un plan défini par un point B et deux vecteurs non colinéaires \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w}.

La droite d est incluse dans le plan \mathcal{P} si, et seulement si, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont coplanaires.

Autrement dit, la droite d est incluse dans le plan \mathcal{P} si, et seulement si, \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{u} peuvent s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w}.

ABCDEFGH est un cube.

L est le milieu de l'arête [CG].

R est le point défini par \overrightarrow{AR}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AL}.

La droite (BR) est incluse dans le plan (ABL).

-

En effet :

  • le plan (ABL) est défini par le point A et les vecteurs non colinéaires \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AL} ;
  • la droite (BR) est définie par le point B et le vecteur \overrightarrow{BR}.

 

Il reste à montrer que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BR} peuvent s'exprimer en fonction des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AL}.

  • \overrightarrow{AB}=1\times \overrightarrow{AB}+0 \times \overrightarrow{AL}
  • D'après la relation de Chasles, on a : \overrightarrow{BR}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AR}

 

Or \overrightarrow{AR}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AL}.
Donc \overrightarrow{BR}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AL}.
Puis \overrightarrow{BR}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AL}.

On a exprimé les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BR} en fonction des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AL}.

Le droite (BR) appartient bien au plan (ABL).

Soit d une droite définie par un point A et un vecteur directeur \overrightarrow{u}. Soit \mathcal{P} un plan défini par un point B et deux vecteurs non colinéaires \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w}.

La droite d et le plan \mathcal{P} sont sécants si, et seulement si, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} ne sont pas coplanaires.

Autrement dit, la droite d et le plan \mathcal{P} sont sécants si, et seulement si, \overrightarrow{u} ne peut pas s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w}.

ABCD est un tétraèdre.

Le point F est le milieu de l'arête [AB] et le point G le milieu de l'arête [CD].

Alors la droite (FG) et le plan (ABC) sont sécants.

-

En effet :

  • le plan (ABC) est défini par le point A et les vecteurs non colinéaires \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ;
  • la droite (FG) est définie par le point F et le vecteur \overrightarrow{FG} ;
  • les vecteurs \overrightarrow{FG}, \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas coplanaires.

 

Le point F appartient au plan (ABC) puisqu'il est le milieu de l'arête [AB].

Si les vecteurs \overrightarrow{FG}, \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} étaient coplanaires, alors le point G serait également dans le plan (ABC).

Or, ce n'est pas le cas.

Donc les vecteurs \overrightarrow{FG}, \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas coplanaires.

On en déduit :
La droite (FG) et le plan (ABC) sont sécants.

B

Les positions relatives de deux plans

Pour décrire la position relative de deux plans, on retrouve, comme pour la position relative d'une droite et d'un plan, le vocabulaire de la géométrie plane.

Soient deux plans \mathcal{P} et \mathcal{P}' distincts de l'espace. Il n'y a que deux positions possibles d'un des deux plans par rapport à l'autre :

  • soit ils n'ont aucun point commun ;
  • soit ils ont une intersection et, dans ce cas, l'intersection \mathcal{P}\cap\mathcal{P}' des deux plans est une droite.
-

Plans parallèles

Soient deux plans \mathcal{P} et \mathcal{P}'. On dira que \mathcal{P} et \mathcal{P}' sont parallèles lorsque :

  • \mathcal{P} et \mathcal{P'} sont confondus ;
  • ou lorsque \mathcal{P} et \mathcal{P}' n'ont aucun point commun (ils sont alors disjoints).
-

Plans sécants

Soient deux plans \mathcal{P} et \mathcal{P}'. On dira que \mathcal{P} et \mathcal{P}' sont sécants lorsque \mathcal{P} et \mathcal{P}' ne sont pas parallèles.

-

Soit \mathcal{P} un plan défini par un point A et deux vecteurs non colinéaires \overrightarrow{u_1} et \overrightarrow{v_1}. Soit \mathcal{P}' un plan défini par un point B et deux vecteurs non colinéaires \overrightarrow{u_2} et \overrightarrow{v_2}.

Les plans \mathcal{P} et \mathcal{P}' sont parallèles si, et seulement si, \overrightarrow{u_1}\overrightarrow{v_1}\overrightarrow{u_2} et \overrightarrow{v_2} sont coplanaires.

Autrement dit, les plans \mathcal{P} et \mathcal{P}' sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs \overrightarrow{u_2} et \overrightarrow{v_2} peuvent s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs \overrightarrow{u_1} et \overrightarrow{v_1}.

ABCDEFGH est un cube.

Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles.

-

En effet :

  • ABFE est un carré, donc \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB} ;
  • ADHE est un carré, donc \overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AD} ;
  • le plan (ABC) est défini par le point A et les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AD} ;
  • le plan (EFG) est défini par le point E et les vecteurs \overrightarrow{EF} et \overrightarrow{EH}.
C

Les positions relatives de deux droites

Pour décrire la position relative de deux droites de l'espace, les notions de géométrie plane ne suffisent. Il est en effet possible d'avoir deux droites ni parallèles ni sécantes.

Soient deux droites d et d' distinctes de l'espace. On a seulement trois positions possibles d'une des droites par rapport à l'autre :

  • d et d' ont un point seul commun ;
  • d et d' n'ont pas de point commun, mais on peut trouver un plan qui les contient toutes les deux ;
  • ou d et d' n'ont pas de point commun, et on ne peut pas trouver un plan qui les contient toutes les deux.
-

Droites parallèles

Soient deux droites d et d' de l'espace. On dit que d et d' sont parallèles lorsque :

  • d et d' sont confondues ;
  • ou d et d' sont coplanaires et n'ont aucun point commun.
-

Droites sécantes

Soient deux droites d et d' de l'espace. On dit que d et d' sont sécantes lorsqu'elles ont un unique point commun.

définition droites sécantes

Il faut faire attention à la différence entre la dimension 2 et la dimension 3 : dans l'espace, deux droites qui ne sont pas sécantes ne sont pas nécessairement parallèles.

-

Soit \mathcal{D} une droite définie par un point A et un vecteur \overrightarrow{u}. Soit \mathcal{D}' une droite définie par un point B et un vecteur \overrightarrow{v}.

  • Les droites \mathcal{D} et \mathcal{D}' sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.
  • Les droites \mathcal{D} et \mathcal{D}' sont sécantes si, et seulement si, les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires et les vecteurs \overrightarrow{u}\overrightarrow{v} et \overrightarrow{AB} sont coplanaires.
  • Les droites \mathcal{D} et \mathcal{D}' ne sont pas coplanaires si, et seulement si, les vecteurs \overrightarrow{u}\overrightarrow{v} et \overrightarrow{AB} ne sont pas coplanaires.

ABCDEFGH est un cube.

Contrairement à ce que pourrait laisser croire la figure, les droites (EC) et (BF) ne sont pas coplanaires.

-

Les vecteurs \overrightarrow{EC}\overrightarrow{BF} et \overrightarrow{EB} ne sont pas coplanaires.

En effet, si ces trois vecteurs étaient coplanaires, les quatre points E, B, F et C seraient coplanaires.

Le point C serait donc dans le plan (EBF).

Or ce n'est pas le cas.

On en déduit :
Les droites (EC) et (BF) ne sont pas coplanaires.