Isoler la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe exprimé en fonction d'un autre Exercice

Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.

Dernière modification : 22/11/2019 - Conforme au programme 2019-2020

On considère le nombre complexe z=x+iy.

Quelles sont la partie réelle et la partie imaginaire du complexe Z, avec Z=\dfrac{2z+3}{z+3i} ?

Re\left(Z\right)=\dfrac{2x^2+2y^2+3x+6y}{x^2+\left(y+3\right)^2}
Im\left(Z\right)=\dfrac{-9-6x-3y}{x^2+\left(y+3\right)^2}

Im\left(Z\right)=\dfrac{2x^2+2y^2+3x+6y}{x^2+\left(y+3\right)^2}
Re\left(Z\right)=\dfrac{-9-6x-3y}{x^2+\left(y+3\right)^2}

Re\left(Z\right)=\dfrac{2x^2+2y^2-3x+6y}{x^2+\left(y+3\right)^2}
Im\left(Z\right)=\dfrac{-9-6x+3y}{x^2+\left(y+3\right)^2}

Im\left(Z\right)=\dfrac{2x^2+2y^2-3x+6y}{x^2+\left(y+3\right)^2}
Re\left(Z\right)=\dfrac{-9-6x+3y}{x^2+\left(y+3\right)^2}

Z=\dfrac{2z+3}{z+3i}

On a z=x+iy

On obtient donc :

Z=\dfrac{2x+2iy+3}{x+iy+3i}

Z=\dfrac{2x+2iy+3}{x+i\left(y+3\right)}

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur :

Z=\dfrac{\left(2x+2iy+3\right)\left(x-i\left(y+3\right)\right)}{\left(x+i\left(y+3\right)\right)\left(x-i\left(y+3\right)\right)}

Et comme \left(a+ib\right)\left(a-ib\right)=a^2+b^2, on a :

Z=\dfrac{\left(2x+2iy+3\right)\left(x-i\left(y+3\right)\right)}{x^2+\left(y+3\right)^2}

Z=\dfrac{\left(2x+2iy+3\right)\left(x-iy-3i\right)}{x^2+\left(y+3\right)^2}

Z=\dfrac{2x^2-2ixy-6ix+2ixy-2i^2y^2-6i^2y+3x-3iy-9i}{x^2+\left(y+3\right)^2}

Z=\dfrac{2x^2-2ixy-6ix+2ixy+2y^2+6y+3x-3iy-9i}{x^2+\left(y+3\right)^2}

On isole la partie réelle et la partie imaginaire pour obtenir la forme algébrique de Z :

Z=\dfrac{2x^2+2y^2+3x+6y+i\left(-9-6x-3y\right)}{x^2+\left(y+3\right)^2}

Z=\dfrac{2x^2+2y^2+3x+6y}{x^2+\left(y+3\right)^2}+i\dfrac{-9-6x-3y}{x^2+\left(y+3\right)^2}

On obtient donc :

Re\left(Z\right)=\dfrac{2x^2+2y^2+3x+6y}{x^2+\left(y+3\right)^2}
Im\left(Z\right)=\dfrac{-9-6x-3y}{x^2+\left(y+3\right)^2}

On considère le nombre complexe z=x+iy.

Quelles sont les valeurs de la partie réelle et de la partie imaginaire du complexe Z, avec Z=\dfrac{z+i}{z-i} ?

Im\left(Z\right)=\dfrac{-2x}{x^2+\left(y-1\right)^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{-x^2+y^2-1}{x^2+\left(y-1\right)^2}

Im\left(Z\right)=\dfrac{-2x}{x^2+\left(y-1\right)^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{x^2+y^2-1}{x^2+\left(y-1\right)^2}

Im\left(Z\right)=\dfrac{2x}{x^2+\left(y-1\right)^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{x^2-y^2-1}{x^2+\left(y-1\right)^2}

Im\left(Z\right)=\dfrac{2x}{x^2+\left(y-1\right)^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{x^2+y^2-1}{x^2+\left(y-1\right)^2}

On considère le nombre complexe z=x+iy.

Quelles sont les valeurs de la partie réelle et de la partie imaginaire du complexe Z, avec Z=\dfrac{2z+i}{z-2i} ?

Im\left(Z\right)=\dfrac{-5x}{x^2+\left(y-2\right)^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{2x^2+2y^2-3y-2}{x^2+\left(y-2\right)^2}

Im\left(Z\right)=\dfrac{-5x}{x^2-\left(y-2\right)^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{2x^2+2y^2-3y-2}{x^2-\left(y-2\right)^2}

Im\left(Z\right)=\dfrac{5x}{x^2+\left(y-2\right)^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{2x^2+2y^2-3y-2}{x^2+\left(y-2\right)^2}

Im\left(Z\right)=\dfrac{5x}{x^2-\left(y-2\right)^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{2x^2+2y^2-3y-2}{x^2-\left(y-2\right)^2}

On considère le nombre complexe z=x+iy.

Quelles sont les valeurs de la partie réelle et de la partie imaginaire du complexe Z, avec Z=\dfrac{z+6}{3z-i} ?

Im\left(Z\right)=\dfrac{x+18y+6}{9x^2+\left(3y-1\right)^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{3x^2+3y^2-18x}{9x^2+\left(y-1\right)^2}

Im\left(Z\right)=\dfrac{x-18y+6}{9x^2+\left(3y-1\right)^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{3x^2+3y^2}{9x^2+\left(3y-1\right)^2}

Im\left(Z\right)=\dfrac{x+18y+6}{9x^2+\left(3y-1\right)^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{-3x^2-3y^2-18x-y}{9x^2+\left(3y-1\right)^2}

Im\left(Z\right)=\dfrac{x-18y+6}{9x^2+\left(3y-1\right)^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{3x^2+3y^2+18x-y}{9x^2+\left(3y-1\right)^2}

On considère le nombre complexe z=x+iy.

Quelles sont les valeurs de la partie réelle et de la partie imaginaire du complexe Z, avec Z=\dfrac{z+1}{z-1} ?

Im\left(Z\right)=\dfrac{-2y}{\left(x-1\right)^2+y^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{x^2+y^2-1}{\left(x-1\right)^2+y^2}

Im\left(Z\right)=\dfrac{2y}{\left(x-1\right)^2+y^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{x^2+y^2+1}{\left(x-1\right)^2+y^2}

Im\left(Z\right)=\dfrac{-2x}{\left(x-1\right)^2+y^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{x^2+y^2-1}{\left(x-1\right)^2+y^2}

Im\left(Z\right)=\dfrac{-2x}{\left(x-1\right)^2+y^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{x^2+y^2+1}{\left(x-1\right)^2+y^2}

On considère le nombre complexe z=x+iy.

Quelles sont les valeurs de la partie réelle et de la partie imaginaire du complexe Z, avec Z=\dfrac{z-1}{z+i} ?

Im\left(Z\right)=\dfrac{1-x+y}{x^2+\left(y+1\right)^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{x^2+y^2-x+y}{x^2+\left(y+1\right)^2}

Im\left(Z\right)=\dfrac{x+y}{x^2+\left(y+1\right)^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{x^2+y^2-x+y}{x^2+\left(y+1\right)^2}

Im\left(Z\right)=\dfrac{1-x}{x^2+\left(y+1\right)^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{x^2+y^2+y}{x^2+\left(y+1\right)^2}

Im\left(Z\right)=\dfrac{2+y}{x^2+\left(y+1\right)^2} et Re\left(Z\right)=\dfrac{x^2-y^2-1}{x^2+\left(y+1\right)^2}