Montrer que trois points sont alignés en utilisant une égalité vectorielle Exercice

On a :

• \overrightarrow{AD}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB}
• \overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BD}

En utilisant la relation de Chasles, \overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BD}=3\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right) et comme \overrightarrow{AD}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB}, on a donc :

\overrightarrow{BC}=3\left(\overrightarrow{BA}+\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB}\right)=-3\overrightarrow{AB}+5\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}

Or les points A, B et C sont alignés si et seulement si deux des trois vecteurs \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{BC} sont colinéaires.

On a :

• \overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OA}
• \overrightarrow{CD}=4\overrightarrow{AB}

En utilisant la relation de Chasles, \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}=4\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{OB}

Or les points O, B et D sont alignés si et seulement si deux des trois vecteurs \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OD} et \overrightarrow{BD} sont colinéaires.

On a :

• \overrightarrow{AK}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}
• \overrightarrow{AL}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}
• \overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{BC}

En utilisant la relation de Chasles, \overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AL}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{KM}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{6}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AC}

On a donc : \overrightarrow{KL}=\dfrac{9}{10}\overrightarrow{KM}.

Or les points K, L et M sont alignés si et seulement si deux des trois vecteurs \overrightarrow{KL}, \overrightarrow{LM} et \overrightarrow{KM} sont colinéaires.

On a :

• \overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}
• \overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}
• \overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BC}

En utilisant la relation de Chasles, \overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+2\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}

On a donc : \overrightarrow{DF}=-3\overrightarrow{DE}.

Or les points D, E et F sont alignés si et seulement si deux des trois vecteurs \overrightarrow{DE}, \overrightarrow{DF} et \overrightarrow{EF} sont colinéaires.

On a :

• \overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}
• \overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}
• \overrightarrow{CK}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}

En utilisant la relation de Chasles, \overrightarrow{EK}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CK}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC} et \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}

On a donc : \overrightarrow{EK}=3\overrightarrow{EF}.

Or les points E, F et K sont alignés si et seulement si deux des trois vecteurs \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{EK} et \overrightarrow{FK} sont colinéaires.