On considère le nombre complexe suivant :
z=-1-i\sqrt3
Quelle est la forme exponentielle de z ?
La forme exponentielle d'un complexe z est de la forme :
z=\left| z \right|e^{i\theta}
Pour mettre z sous forme exponentielle, on doit donc déterminer son module et un argument.
Module de z
D'après le cours, on sait que si z=x+iy, alors le module de z vaut :
\left| z \right|=\sqrt{x^2+y^2}
Ici, on a z=-1-i\sqrt3. On a donc :
- Re\left(z\right)=-1
- Im\left(z\right)=-\sqrt3
On peut donc calculer :
\left| z \right|=\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-\sqrt3\right)^2}
\left| z \right|=2
Argument de z
On note \theta un argument de z.
On sait que :
- \cos\left(\theta\right)=\dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
- \sin\left(\theta\right)=\dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}
Ici, on a donc :
- \cos\left(\theta\right)=-\dfrac{1}{2}
- \sin\left(\theta\right)=-\dfrac{\sqrt3}{2}
On en conclut que \theta=\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
On obtient ainsi la forme exponentielle de z :
z=2e^{i\frac{4\pi}{3}}
On considère le nombre complexe suivant :
z=1-i
Quelle est la forme exponentielle de z ?
On considère le nombre complexe suivant :
z=-\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}i
Quelle est la forme exponentielle de z ?
On considère le nombre complexe suivant :
z=-\sqrt3-i
Quelle est la forme exponentielle de z ?
On considère le nombre complexe suivant :
z=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}i
Quelle est la forme exponentielle de z ?
On considère le nombre complexe suivant :
z=-1+i
Quelle est la forme exponentielle de z ?