On considère le nombre complexe suivant :
z=\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{1}{2}i
Quelle est la forme trigonométrique de z ?
La forme trigonométrique d'un complexe z est de la forme :
z=\left| z \right|\left(\cos\left(\theta\right)+isin\left(\theta\right)\right)
Pour mettre z sous forme trigonométrique, on doit donc déterminer son module et un argument.
Module de z
D'après le cours, on sait que si z=x+iy, alors le module de z vaut :
\left| z \right|=\sqrt{x^2+y^2}
Ici, on a z=\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{1}{2}i. On a donc :
- Re\left(z\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}
- Im\left(z\right)=\dfrac{1}{2}
On peut donc calculer :
\left| z \right|=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}
\left| z \right|=1
Argument de z
On note \theta un argument de z.
On sait que :
- \cos\left(\theta\right)=\dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
- \sin\left(\theta\right)=\dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}
Ici, on a donc :
- \cos\left(\theta\right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt3}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt3}{2}
- \sin\left(\theta\right)=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1}=\dfrac{1}{2}
On en conclut que \theta=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
On obtient ainsi la forme trigonométrique de z :
z=\left(\cos\dfrac{\pi}{6}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)
On considère le nombre complexe suivant :
z=-1+i\sqrt{3}
Quelle est la forme trigonométrique de z ?
On considère le nombre complexe suivant :
z=-\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}
Quelle est la forme trigonométrique de z ?
On considère le nombre complexe suivant :
z=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt3}{2}
Quelle est la forme trigonométrique de z ?
On considère le nombre complexe suivant :
z=\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}
Quelle est la forme trigonométrique de z ?
On considère le nombre complexe suivant :
z=\sqrt3-i
Quelle est la forme trigonométrique de z ?