Quel est l'ensemble des solutions de chacune des équations suivantes dans \mathbb{C} ?
-5z-4i\overline{z}=3i+5
On pose z=x+iy. On a alors \overline{z}=x-iy.
-5z-4i\overline{z}=3i+5
\Leftrightarrow-5\left(x+iy\right)-4i\left(x-iy\right)=3i+5
\Leftrightarrow-5x-5iy-4ix+4i^2y=3i+5
Et, comme i^2=-1 :
-5z-4i\overline{z}=3i+5
\Leftrightarrow-5x-5iy-4ix-4y-3i-5=0
\Leftrightarrow5x+4y+5+i\left(4x+5y+3\right)=0
Or un complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. Ainsi :
-5z-4i\overline{z}=3i+5
\Leftrightarrow\begin{cases} 5x+4y+5=0 \cr \cr 4x+5y+3=0 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 5x+4y+5=0 \cr \cr x=\dfrac{-5y-3}{4} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 5\left(\dfrac{-5y-3}{4}\right)+4y+5=0 \cr \cr x=\dfrac{-5y-3}{4} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} \dfrac{-25}{4}y-\dfrac{15}{4}+4y+5=0 \cr \cr x=3y-2 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} \dfrac{-9}{4}y=-\dfrac{5}{4} \cr \cr x=\dfrac{-5y-3}{4} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac{5}{9} \cr \cr x=\dfrac{-5\left(\dfrac{5}{9}\right)-3}{4} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac{5}{9} \cr \cr x=\dfrac{\dfrac{-25}{9}-3}{4} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac{5}{9} \cr \cr x=-\dfrac{52}{36} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac{5}{9} \cr \cr x=-\dfrac{13}{9} \end{cases}
Ainsi :
-5z-4i\overline{z}=3i+5\Leftrightarrow z=-\dfrac{13}{9}+\dfrac{5}{9}i
S=\left\{-\dfrac{13}{9}+\dfrac{5}{9}i \right\}
3iz-2i=4\overline{z}
2iz-4i=3\overline{z}
iz+3i=3\overline{z}
-iz+5i=2\overline{z}
-2iz+3i=8\overline{z}