On donne les nombres complexes suivants :
z_1=-\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{1}{2}i
Dans quelle proposition a-t-on correctement calculé le module et un argument de z_1 ?
Module de z_1
D'après le cours, on sait que si z=x+iy, alors le module de z vaut :
\left| z \right|=\sqrt{x^2+y^2}
Ici, on a z_1=-\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{1}{2}i. On a donc :
- Re\left(z_1\right)=-\dfrac{\sqrt3}{2}
- Im\left(z_1\right)=\dfrac{1}{2}
On peut donc calculer :
\left| z_1 \right|=\sqrt{\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}
\left| z_1 \right|=1
Argument de z_1
On note \theta_1 un argument de z_1.
On sait que :
- \cos\left(\theta_1\right)=\dfrac{Re\left(z_1\right)}{\left| z_1 \right|}
- \sin\left(\theta_1\right)=\dfrac{Im\left(z_1\right)}{\left| z_1 \right|}
Ici, on a donc :
- \cos\left(\theta_1\right)=\dfrac{-\dfrac{\sqrt3}{2}}{1}=-\dfrac{\sqrt3}{2}
- \sin\left(\theta_1\right)=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1}=\dfrac{1}{2}
On en conclut que \theta_1=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
\left| z_1 \right|=1 et arg\left(z_1\right)=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
Par déduction, quels sont le module et un argument de z_2, avec z_2=\left(z_1\right)^{18} ?
Module de z_2
z_2=\left(z_1\right)^{18}
On sait, d'après les questions précédentes, que :
\left| z_1 \right|=1
Donc :
\left| z_2 \right|=1^{18}
\left| z_2 \right|=1
Argument de z_2
z_2=\left(z_1\right)^{18}
On a donc :
arg\left(z_2\right)=18\times arg\left(z_1\right)
Et, d'après les questions précédentes :
arg\left(z_2\right)=18 \times \dfrac{5\pi}{6}
arg\left(z_2\right)= {15\pi}
arg\left(z_2\right)= \pi
\left| z_2\right|=1 et arg\left(z_2\right)=\pi+2k\pi, k\in\mathbb{Z}