ABCD et BEFG sont deux carrés de côté respectif 3 et 5 cm, C appartient à \left[BG\right]. Les droites \left(AF\right) et \left(BG\right) se coupent en O.
On se place dans le repère \left(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right).
Quelles sont les coordonnées des points A, B, C, D, E et F dans le repère \left(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right) ?
Dans le repère \left(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right), on a :
- A\left(0;0\right)
- B\left(1;0\right)
- C\left(1;1\right)
- D\left(0;1\right)
- E\left(\dfrac{8}{3};0\right)
- F\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{5}{3}\right)
Quelles sont les coordonnées du point O dans le repère \left(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right) ?
O est le point d'intersection des droites \left(AF\right) et \left(BG\right). On écrit donc les équations de ces deux droites.
\left(AF\right) passe par l'origine A du repère \left(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right) , elle est donc linéaire. Elle a ainsi une équation de la forme y=ax.
De plus, elle passe par le point F\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{5}{3}\right). On remplace les coordonnées de F dans l'équation :
\dfrac{5}{3}=a\times\dfrac{8}{3}
a=\dfrac{5}{8}
Finalement, \left(AF\right):y=\dfrac{5}{8}x
De plus, \left(BG\right) est une droite verticale qui a pour équation x=1.
On résout le système :
\begin{cases} x=1 \cr \cr y=\dfrac{5}{8}x \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=1 \cr \cr y=\dfrac{5}{8} \end{cases}
Le point O a donc pour coordonnées O\left(1;\dfrac{5}{8}\right).
Que peut-on déduire des points D, O et E ?
Les points D, O et E sont alignés si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{DO} et \overrightarrow{DE} sont colinéaires.
On calcule donc les coordonnées des vecteurs :
- \overrightarrow{DO}\begin{pmatrix} x_{O}-x_{D} \cr\cr y_{O}-y_{D} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{DO}\begin{pmatrix} 1-0 \cr\cr \dfrac{5}{8}-1 \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{DO}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr -\dfrac{3}{8} \end{pmatrix}
- \overrightarrow{DE}\begin{pmatrix} x_{E}-x_{D} \cr\cr y_{E}-y_{D} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{DE}\begin{pmatrix} \dfrac{8}{3}-0 \cr\cr 0-1 \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{DE}\begin{pmatrix} \dfrac{8}{3} \cr\cr -1 \end{pmatrix}
x_{\overrightarrow{DO}}y_{\overrightarrow{DE}}-x_{\overrightarrow{DE}}y_{\overrightarrow{DO}}=1\times\left(-1\right)-\left(-\dfrac{3}{8}\right)\times\left(\dfrac{8}{3}\right)=-1+1=0
Les vecteurs sont donc colinéaires.
Ainsi, les points D, E et O sont alignés.