Une usine spécialisée dans la fabrication de matelas produit entre 0 et 800 pièces par an.
Le coût total de fabrication de x pièces est donné par la fonction :
C\left(x\right)=x^3-62x^2+1\ 200x
Le coût marginal est la dépense effectuée par l'usine pour la fabrication d'une pièce supplémentaire. Il est égal à :
C_M\left(x\right)=C'\left(x\right)
Le prix de vente unitaire P d'une pièce est déterminé en fonction de la demande x en nombre de pièces :
P\left(x\right)=13x+5\ 400
R\left(x\right) est la recette totale réalisée par la vente de x pièces. La recette marginale est la recette additionnelle engendrée par la vente d'une pièce supplémentaire; elle est égale à :
R_M\left(x\right)=R'\left(x\right)
Quelle est, en fonction de x, la recette réalisée par l'usine pour la vente de x pièces ?
La recette étant égale au prix de vente unitaire d'une pièce multiplié par la quantité de pièces vendue, on obtient pour tout x compris entre 0 et 800 :
R\left(x\right)=xP\left(x\right)
R\left(x\right)=x\times\left(13x+5\ 400\right)
R\left(x\right)=13x^2+5\ 400x
Pour tout x\in\left[ 0;800 \right], R\left(x\right)=13x^2+5\ 400x
Pour quelles valeurs de x la recette marginale R_M\left(x\right) est-elle égale au coût marginal C_M\left(x\right) ?
Pour tout x\in\left[ 0;800 \right] :
R_M\left(x\right)=C_M\left(x\right)
\Leftrightarrow R'\left(x\right)=C'\left(x\right)
Les fonctions R et C sont des polynômes, elles sont donc dérivables sur \left[ 0;800 \right] et on a :
- R'\left(x\right)=26x+5\ 400
- C'\left(x\right)=3x^2-124x+1\ 200
On cherche donc à résoudre, dans \left[ 0;800 \right] :
26x+5\ 400=3x^2-124x+1\ 200
\Leftrightarrow 26x+5\ 400-3x^2+124x-1\ 200=0
\Leftrightarrow -3x^2+150x+4\ 200=0
Il s'agit d'une équation du second degré, on peut utiliser le discriminant pour chercher ses solutions :
\Delta=b^2-4ac=150^2-4\times\left(-3\right)\times4\ 200=22\ 500+50\ 400=72\ 900
\Delta\gt0 donc l'équation admet deux solutions distinctes :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-150-\sqrt{72\ 900}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{-150-270}{-6}=\dfrac{-420}{-6}=70
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-150+\sqrt{72\ 900}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{-150+270}{-6}=\dfrac{120}{-6}=-20
Seule la solution 70 est dans l'intervalle \left[ 0;800 \right]
La recette marginale est donc égale au coût marginal lorsque l'usine produit et vend 70 pièces.
Quel est, en fonction de x, le bénéfice de l'usine réalisé pour la vente de x pièces ?
Le bénéfice étant égal à la recette moins les coûts, on obtient pour tout x compris entre 0 et 800 :
B\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)
B\left(x\right)=\left(13x^2+5\ 400x\right)-\left(x^3-62x^2+1\ 200x\right)
Pour tout x\in\left[ 0;800 \right], B\left(x\right)=-x^3+75x^2+4\ 200x
Quelle est la valeur de B'\left(x\right) ?
B est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur son ensemble de définition.
Ainsi, pour tout x\in\left[ 0;800 \right], on a :
B'\left(x\right)=-3x^2+150x+4\ 200
Pour tout x\in\left[ 0;800 \right], B'\left(x\right)=-3x^2+150x+4\ 200
Quelle proposition montre que le bénéfice est maximum lorsque la recette marginale est égale au coût marginal ?
Pour étudier le bénéfice maximum, on cherche les variations de B.
B'\left(x\right) est égal au trinôme du second degré dont on a déjà déterminé les racines plus haut (70 et -20).
On obtient, après avoir calculé B\left(70\right), le tableau suivant :
On en déduit que le bénéfice est donc maximum pour 70 pièces vendues, c'est-à-dire lorsque la recette marginale est égale au coût marginal.
Ce bénéfice maximum est égal à 318 500 €.