Une usine spécialisée dans la fabrication de fenêtres produit entre 0 et 1500 pièces par an.
Le coût total de fabrication de x pièces est donné par la fonction :
C\left(x\right)=\dfrac{1}{3}x^3-26x^2+2\ 000x
Le coût marginal est la dépense effectuée par l'usine pour la fabrication d'une pièce supplémentaire. Il est égal à :
C_M\left(x\right)=C'\left(x\right)
Le prix de vente unitaire P d'une pièce est déterminé en fonction de la demande x en nombre de pièces :
P\left(x\right)=9x+8\ 000
R\left(x\right) est la recette totale réalisée par la vente de x pièces. La recette marginale est la recette additionnelle engendrée par la vente d'une pièce supplémentaire; elle est égale à :
R_M\left(x\right)=R'\left(x\right)
Quelle est, en fonction de x, la recette réalisée par l'usine pour la vente de x pièces ?
La recette étant égale au prix de vente unitaire d'une pièce multiplié par la quantité de pièces vendue, on obtient pour tout x compris entre 0 et 5000 :
R\left(x\right)=xP\left(x\right)
R\left(x\right)=x\times\left(9x+8\ 000\right)
R\left(x\right)=9x^2+8\ 000x
Pour tout x\in\left[ 0;1\ 500 \right], R\left(x\right)=9x^2+8\ 000x
Pour quelles valeurs de x la recette marginale R_M\left(x\right) est-elle égale au coût marginal C_M\left(x\right) ?
Pour tout x\in\left[ 0;1\ 500 \right] :
R_M\left(x\right)=C_M\left(x\right)
\Leftrightarrow R'\left(x\right)=C'\left(x\right)
Les fonctions R et C sont des polynômes, elles sont donc dérivables sur \left[ 0;1\ 500 \right] et on a :
- R'\left(x\right)=18x+8\ 000
- C'\left(x\right)=x^2-52x+2\ 000
On cherche donc à résoudre, dans \left[ 0;1\ 500 \right] :
18x+8\ 000=x^2-52x+2\ 000
\Leftrightarrow 18x+8\ 000-x^2+52x-2\ 000=0
\Leftrightarrow -x^2+70x+6\ 000=0
Il s'agit d'une équation du second degré, on peut utiliser le discriminant pour chercher ses solutions :
\Delta=b^2-4ac=70^2-4\times\left(-1\right)\times6\ 000=4\ 900+24\ 000=28\ 900
\Delta\gt0 donc l'équation admet deux solutions distinctes :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-70-\sqrt{28\ 900}}{2\times\left(-1\right)}=\dfrac{-70-170}{-2}=\dfrac{-240}{-2}=120
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-70+\sqrt{28\ 900}}{2\times\left(-1\right)}=\dfrac{-70+170}{-2}=\dfrac{100}{-2}=-50
Seule la solution 120 est dans l'intervalle \left[ 0;1\ 500 \right]
La recette marginale est donc égale au coût marginal lorsque l'usine produit et vend 120 pièces.
Quel est, en fonction de x, le bénéfice de l'usine réalisé pour la vente de x pièces ?
Le bénéfice étant égal à la recette moins les coûts, on obtient pour tout x compris entre 0 et 1500 :
B\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)
B\left(x\right)=\left(9x^2+8\ 000x\right)-\left(\dfrac{1}{3}x^3-26x^2+2\ 000x\right)
Pour tout x\in\left[ 0;1\ 500 \right], B\left(x\right)=-\dfrac{1}{3}x^3+35x^2+6\ 000x
Quelle est la valeur de B'\left(x\right) ?
B est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur son ensemble de définition.
Ainsi, pour tout x\in\left[ 0;1\ 500 \right], on a :
B'\left(x\right)=-x^2+70x+6\ 000
Pour tout x\in\left[ 0;1\ 500 \right], B'\left(x\right)=-x^2+70x+6\ 000
Quelle proposition montre que le bénéfice est maximum lorsque la recette marginale est égale au coût marginal ?
Pour étudier le bénéfice maximum, on cherche les variations de B.
B'\left(x\right) est égal au trinôme du second degré dont on a déjà déterminé les racines plus haut (120 et -50).
On obtient, après avoir calculé B\left(120\right), le tableau suivant :
On en déduit que le bénéfice est donc maximum pour 120 pièces vendues, c'est-à-dire lorsque la recette marginale est égale au coût marginal.
Ce bénéfice maximum est égal à 648 000 €.