Soit ABC un triangle quelconque.
Soient E et D les points définis par : \overrightarrow{AE}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AC} et \overrightarrow{BD}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BA}.
Dans le repère \left(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right) quelle égalité obtenue à partir des vecteurs \overrightarrow{DC} et \overrightarrow{BE} permet de prouver que les droites \left(DC\right) et \left(BE\right) sont parallèles ?
On choisit le repère \left(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right) où A est l'origine, \overrightarrow{AB} est le vecteur unitaire de l'axe des abscisses et \overrightarrow{AC} celui de l'axe des ordonnées.
Dans ce repère, on a :
- A est l'origine du repère donc A\left(0;0\right).
- \overrightarrow{AB}=1\overrightarrow{AB}+0\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow B\left(1;0\right).
- \overrightarrow{AC}=0\overrightarrow{AB}+1\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow C\left(0;1\right).
- \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BA}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}+0\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow D\left(\dfrac{3}{5};0\right).
- \overrightarrow{AE}=0\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow E\left(0;\dfrac{5}{3}\right).
Les coordonnées des points A, B, C, D et E dans le repère \left(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right) sont donc :
A\left(0;0\right), B\left(1;0\right), C\left(0;1\right), D\left(\dfrac{3}{5};0\right) et E\left(0;\dfrac{5}{3}\right).
Pour savoir si les droites \left(DC\right) et \left(BE\right) sont parallèles, on détermine si les vecteurs \overrightarrow{DC} et \overrightarrow{BE} sont colinéaires.
Les coordonnées de ces vecteurs sont :
- \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} x_{C}-x_{D} \cr\cr y_{C}-y_{D} \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 0-\dfrac{3}{5} \cr\cr 1-0\end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} -\dfrac{3}{5} \cr\cr 1\end{pmatrix}
- \overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} x_{E}-x_{B} \cr\cr y_{E}-y_{B} \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} 0-1\cr\cr \dfrac{5}{3}-0\end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr \dfrac{5}{3}\end{pmatrix}
x_{\overrightarrow{DC}}y_{\overrightarrow{BE}}-x_{\overrightarrow{BE}}y_{\overrightarrow{DC}}=-\dfrac{3}{5}\times\dfrac{5}{3}-\left(-1\right)\times1=-1-\left(-1\right)=-1+1=0
Les vecteurs \overrightarrow{DC} et \overrightarrow{BE} sont donc colinéaires.
Les droites \left(DC\right) et \left(BE\right) sont donc parallèles.
Quelle égalité vectorielle obtenue à partir des données de l'énoncé permet de prouver que les droites \left(DC\right) et \left(BE\right) sont parallèles ?
Les droites \left(DE\right) et \left(BC\right) sont parallèles si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{DC}=k\times\overrightarrow{BE}.
On a :
\overrightarrow{AE}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AC}.
En utilisant la relation de Chasles on obtient :
\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AE}
\overrightarrow{DC}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}
De plus, on a :
\overrightarrow{AD}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}
En utilisant la relation de Chasles, on obtient :
\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AD}
\overrightarrow{EB}=-\overrightarrow{AE}+\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AD}
On remarque que :
\overrightarrow{DC}=-\dfrac{3}{5}\overrightarrow{EB}
\Leftrightarrow\overrightarrow{DC}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BE}
Les droites \left(DC\right) et \left(BE\right) sont donc parallèles.
A partir des données de l'énoncé, en quoi la réciproque du théorème de Thalès permet-elle de prouver que les droites \left(DC\right) et \left(BE\right) sont parallèles ?
Dans le triangle ADC, on a :
- D\in\left[AB\right]
- C\in\left[AE\right]
- \overrightarrow{AD}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB} donc \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{5} et \overrightarrow{AE}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AC} et \dfrac{AC}{AE}=\dfrac{3}{5}, donc \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AC}{AE}.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites \left(DC\right) et \left(BE\right) sont parallèles.
Les droites \left(DC\right) et \left(BE\right) sont donc parallèles.