Quels sont les deux entiers naturels consécutifs dont la somme des carrés est égale à 3785 ?
Mise en équation
Posons n le plus petit des deux entiers recherchés. L'entier suivant est donc n+1.
On en déduit que n doit alors vérifier :
n^2+\left(n+1\right)^2=3\ 785
\Leftrightarrow n^2+n^2+2n+1=3\ 785
\Leftrightarrow 2n^2+2n-3\ 784=0
\Leftrightarrow n^2+n-1\ 892=0
Il s'agit d'une équation du second degré. Pour la résoudre on a besoin de calculer le discriminant du trinôme.
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times1\times\left(-1\ 892\right)=1+7\ 568=7\ 569
\Delta\gt0, donc le trinôme admet deux racines distinctes.
Recherche des racines du trinôme
- n_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{7\ 569}}{2\times1}=\dfrac{-1-87}{2}=\dfrac{-88}{2}=-44
- n_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{7\ 569}}{2\times1}=\dfrac{-1+87}{2}=\dfrac{86}{2}=43
Comme n est un entier naturel, la seule valeur possible est 43.
Les deux entiers consécutifs dont la somme des carrés est égale à 3785 sont 43 et 44.
Quels sont les deux entiers naturels consécutifs dont la somme des carrés est égale à 2375 ?
Mise en équation
Posons n le plus petit des deux entiers recherchés. L'entier suivant est donc n+1.
On en déduit que n doit alors vérifier :
n^2+\left(n+1\right)^2=2\ 375
\Leftrightarrow n^2+n^2+2n+1=2\ 375
\Leftrightarrow 2n^2+2n-2\ 374=0
\Leftrightarrow n^2+n-1\ 187=0
Il s'agit d'une équation du second degré. Pour la résoudre on a besoin de calculer le discriminant du trinôme.
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times1\times\left(-1\ 187\right)=1+4\ 748=4\ 749
\Delta\gt0, donc le trinôme admet deux racines distinctes.
Recherche des racines du trinôme
- n_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{4\ 749}}{2\times1}=\dfrac{-1-\sqrt{4\ 749}}{2}\approx-34{,}96
- n_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{4\ 749}}{2\times1}=\dfrac{-1+\sqrt{4\ 749}}{2}\approx33{,}96
On remarque que n_1 et n_2 ne sont pas des entiers naturels. Aucune des deux valeurs n'est donc solution du problème.
Il n'existe pas deux entiers consécutifs dont la somme des carrés est égale à 2375.
Quels sont les deux entiers naturels consécutifs dont la somme des carrés est égale à 1985 ?
Mise en équation
Posons n le plus petit des deux entiers recherchés. L'entier suivant est donc n+1.
On en déduit que n doit alors vérifier :
n^2+\left(n+1\right)^2=1\ 985
\Leftrightarrow n^2+n^2+2n+1=1\ 985
\Leftrightarrow 2n^2+2n-1\ 984=0
\Leftrightarrow n^2+n-992=0
Il s'agit d'une équation du second degré. Pour la résoudre on a besoin de calculer le discriminant du trinôme.
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times1\times\left(-992\right)=1+3\ 968=3\ 969
\Delta\gt0, donc le trinôme admet deux racines distinctes.
Recherche des racines du trinôme
- n_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{3\ 969}}{2\times1}=\dfrac{-1-63}{2}=\dfrac{-64}{2}=-32
- n_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{3\ 969}}{2\times1}=\dfrac{-1+63}{2}=\dfrac{62}{2}=31
Comme n est un entier naturel, la seule valeur possible est 31.
Les deux entiers consécutifs dont la somme des carrés est égale à 1985 sont 31 et 32.
Quels sont les deux entiers naturels consécutifs dont la somme des carrés est égale à 1301 ?