Soit ABC un triangle quelconque.
Soient E et D les points définis par : \overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC} et \overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}.
Dans le repère \left(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right) quelle égalité obtenue à partir des vecteurs \overrightarrow{BE} et \overrightarrow{DC} permet de prouver que les droites \left(BE\right) et \left(DC\right) sont parallèles ?
On choisit le repère \left(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right) où A est l'origine, \overrightarrow{AB} est le vecteur unitaire de l'axe des abscisses et \overrightarrow{AC} celui de l'axe des ordonnées.
Dans ce repère, on a :
- A est l'origine du repère donc A\left(0;0\right).
- \overrightarrow{AB}=1\overrightarrow{AB}+0\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow B\left(1;0\right).
- \overrightarrow{AC}=0\overrightarrow{AB}+1\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow C\left(0;1\right).
- \overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}+0\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow D\left(3;0\right).
- \overrightarrow{AE}=0\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow E\left(0;\dfrac{1}{3}\right).
Les coordonnées des points A, B, C, D et E dans le repère \left(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right) sont donc :
A\left(0;0\right), B\left(1;0\right), C\left(0;1\right), D\left(3;0\right) et E\left(0;\dfrac{1}{3}\right).
Pour savoir si les droites \left(BE\right) et \left(DC\right) sont parallèles, on détermine si les vecteurs \overrightarrow{BE} et \overrightarrow{DC} sont colinéaires.
Les coordonnées de ces vecteurs sont :
- \overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} x_{E}-x_{B} \cr\cr y_{E}-y_{B} \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} 0-1 \cr\cr \dfrac{1}{3}-0\end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}
- \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} x_{C}-x_{D} \cr\cr y_{C}-y_{D} \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 0-3 \cr\cr 1-0\end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 1\end{pmatrix}
x_{\overrightarrow{BE}}y_{\overrightarrow{DC}}-x_{\overrightarrow{DC}}y_{\overrightarrow{BE}}=-1\times1-\dfrac{1}{3}\times\left(-3\right)=-1-\left(-1\right)=-1+1=0
Les vecteurs \overrightarrow{BE} et \overrightarrow{DC} sont donc colinéaires.
Les droites \left(BE\right) et \left(DC\right) sont donc parallèles.
Quelle égalité vectorielle obtenue à partir des données de l'énoncé permet de prouver que les droites \left(BE\right) et \left(DC\right) sont parallèles ?
Les droites \left(DC\right) et \left(BE\right) sont parallèles si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{DC}=k\times\overrightarrow{BE}.
On a :
\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}.
En utilisant la relation de Chasles on obtient :
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}
\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}
De plus, on a :
\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}
En utilisant la relation de Chasles, on obtient :
\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{AB}
\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AB}
On remarque que :
\overrightarrow{CD}=-3\overrightarrow{BE}
\Leftrightarrow\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{BE}
Les droites \left(BE\right) et \left(DC\right) sont donc parallèles.
À partir des données de l'énoncé, en quoi la réciproque du théorème de Thalès permet-elle de prouver que les droites \left(BE\right) et \left(DC\right) sont parallèles ?
Dans le triangle ADC, on a :
- B\in\left[AD\right]
- E\in\left[AC\right]
- \overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB} donc \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{1}{3} et \overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC} et \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{3}, donc \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AE}{AC}.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites \left(BE\right) et \left(DC\right) sont parallèles.
Les droites \left(BE\right) et \left(DC\right) sont donc parallèles.