Utiliser les formules du module et de l'argument Exercice

D'après le cours, on sait que si z=x+iy, alors le module de z vaut :

\left| z \right|=\sqrt{x^2+y^2}

Ici, on a z_1=1+i. On a donc :

• Re\left(z_1\right)=1
• Im\left(z_1\right)=1

On peut donc calculer :

\left| z_1 \right|=\sqrt{1^2+1^2}

\left| z_1 \right|=\sqrt{2}

On note \theta_1 un argument de z_1.

On sait que :

• \cos\left(\theta_1\right)=\dfrac{Re\left(z_1\right)}{\left| z_1 \right|}
• \sin\left(\theta_1\right)=\dfrac{Im\left(z_1\right)}{\left| z_1 \right|}

Ici, on a donc :

• \cos\left(\theta_1\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
• \sin\left(\theta_1\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

On en conclut que \theta_1=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}

D'après le cours, on sait que si z=x+iy, alors le module de z vaut :

\left| z \right|=\sqrt{x^2+y^2}

Ici, on a z_2=-2i. On a donc :

• Re\left(z_2\right)=0
• Im\left(z_2\right)=-2

On peut donc calculer :

\left| z_2 \right|=\sqrt{0^2+\left(-2\right)^2}

\left| z_2 \right|=2

On note \theta_2 un argument de z_2.

On sait que :

• \cos\left(\theta_2\right)=\dfrac{Re\left(z_2\right)}{\left| z_2 \right|}
• \sin\left(\theta_2\right)=\dfrac{Im\left(z_2\right)}{\left| z_2 \right|}

Ici, on a donc :

• \cos\left(\theta_2\right)=\dfrac{0}{2}=0
• \sin\left(\theta_2\right)=\dfrac{-2}{2}=-1

On en conclut que \theta_2=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}

z_3=\dfrac{z_1}{z_2}

On a donc :

\left| z_3\right|=\left| \dfrac{z_1}{z_2}\right|

\left| z_3\right|=\dfrac{\left| z_1\right|}{\left| z_2 \right|}

Et, d'après les questions précédentes :

\left| z_3\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

z_3=\dfrac{z_1}{z_2}

On a donc :

arg\left(z_3\right)=arg\left(z_1\right)-arg\left(z_2\right)

Et, d'après les questions précédentes :

arg\left(z_3\right)=\dfrac{\pi}{4}-\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)

arg\left(z_3\right)=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}

arg\left(z_3\right)=\dfrac{3\pi}{4}