Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017
I

Etude globale d'une suite

A

Les suites majorées, minorées, bornées

Suite majorée

La suite (un) est majorée si et seulement s'il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :

unM

Soit (un) la suite définie par :

n,un=1n

Pour tout entier naturel non nul n, on a :

1n1

La suite (un) est donc majorée par 1.

Suite minorée

La suite (un) est minorée si et seulement s'il existe un réel m tel que, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :

unm

Soit (un) la suite définie par :

n,un=1n

Pour tout entier naturel non nul n, on a :

1n0

La suite (un) est donc minorée par 0.

Suite bornée

La suite (un) est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.

La suite (un) définie pour tout entier naturel non nul n par un=1n est à la fois minorée par 0 et majorée par 1.

Elle est donc bornée et on peut écrire :

n,0un1

B

Le sens de variation

Suite croissante

La suite (un) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :

un+1un

Considérons la suite (un) définie par son premier terme u0=12 et par, pour tout entier naturel n :

un+1=(un)2+un

On a, pour tout entier naturel n :

un+1un=(un)2

Or, pour tout entier naturel n :

(un)20

Ainsi, pour tout entier naturel n :

un+1un0

Donc, pour tout n :

un+1un

Donc la suite (un) est croissante.

Suite décroissante

La suite (un) est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :

un+1un

Considérons la suite définie pour tout entier naturel non nul par :

un=1n

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

un+1un=1n+11n=n(n+1)n(n+1)=1n(n+1)

Or, pour tout entier naturel n non nul :

1n(n+1)0

Ainsi, pour tout entier naturel n non nul :

un+1un0

Soit, pour tout entier naturel n non nul :

un+1un

Par conséquent la suite (un) est décroissante.

Suite constante

La suite (un) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est définie :

un+1=un

Suite monotone

La suite (un) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens de variation).

C

Suites arithmétiques et géométriques

1

Suites arithmétiques

Suite arithmétique

Une suite (un) est arithmétique si et seulement s'il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n pour lequel elle est définie :

un+1=un+r

r est alors la raison de la suite arithmétique.

On considère la suite définie par son premier terme u0=1 et par, pour tout entier naturel n :

un+1=un2

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.

Cette suite est donc arithmétique de raison −2.

Soit (un) une suite arithmétique de raison r.

  • Si r>0, la suite est strictement croissante.
  • Si r<0, la suite est strictement décroissante.
Terme général d'une suite arithmétique

Soit (un) une suite arithmétique de raison r, définie à partir du rang p.

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

un=up+(np)r

En particulier, si (un) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

un=u0+nr

Soit (un) une suite arithmétique de raison r=2 et de premier terme u0=3.

On a, pour tout entier naturel n :

un=32n

Somme des termes d'une suite arithmétique

Soit (un) une suite arithmétique. La somme S des termes consécutifs de cette suite est égale à :

S=(Premier terme+Dernier terme)×(Nombre de termes)2

En particulier :

u0+u1+u2+...+un=(n+1)(u0+un)2

Soit (un) une suite arithmétique de raison r=8 et de premier terme u0=16.

On a donc, pour tout entier naturel n :

un=16+8n

On souhaite calculer la somme suivante :

S=u0+u1+u2++u25

On a :

S=(25+1)(u0+u25)2=26×(16+16+8×25)2=3 016

Le nombre de termes entre les entiers naturels a et b vaut (ba+1).

On souhaite calculer :

S=u3+u4+...+u9

Entre 9 et 3, il y a 93+1=7 termes.

2

Suites géométriques

Suite géométrique

Une suite (un) est géométrique si et seulement s'il existe un réel q tel que, pour tout entier n pour lequel elle est définie :

un+1=un×q

q est alors appelé raison de la suite.

On considère la suite définie par son premier terme u0=1 et par, pour tout entier naturel n :

un+1=3un

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.

Cette suite est donc géométrique de raison 3.

Soit q un réel strictement positif, et la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un=qn.

  • Si q>1, la suite (un) est strictement croissante.
  • Si 0<q<1, la suite (un) est strictement décroissante.
  • Si q=1, la suite (un) est constante.
Terme général d'une suite géométrique

Soit (un) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p. Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

un=up×qnp

En particulier, si (un) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

un=u0×qn

Soit (un) une suite géométrique de raison q=2 et de premier terme u0=3.

On a alors, pour tout entier naturel n :

un=3×2n

Somme des termes d'une suite géométrique

Soit (un) une suite géométrique de raison q1. La somme S des termes consécutifs de cette suite vaut :

S=Premier terme×1qNombre de termes1q

En particulier, si la suite est définie dès le rang 0, alors, pour tout entier naturel n :

u0+u1+u2+...+un=u0×1qn+11q

Soit (un) une suite géométrique de raison q=5 et de premier terme u0=4.

On souhaite calculer la somme suivante :

S=u0+u1+u2++u25

On a :

S=u0×1q25+11q=4×152615=5261

II

Limites

A

Limite finie ou infinie

La limite d'une suite ne peut être étudiée qu'en +.

Limite finie

(un) tend vers le réel L quand n tend vers + si et seulement si tout intervalle ouvert (aussi petit que l'on veut) contenant L contient tous les termes un à partir d'un certain rang.

Le réel L est appelé limite (finie) de la suite (un). On note :

limn+un=L

-

Unicité de la limite

Si elle existe, la limite L de la suite (un) est unique.

Suite divergente vers +

(un) tend vers + quand n tend vers + si et seulement si pour tout réel A (aussi grand que l'on veut), tous les termes un sont supérieurs à A à partir d'un certain rang. On note :

limn+un=+

Considérons la suite définie pour tout entier naturel n par :

un=3n+4

Soit A un réel quelconque fixé. Pour tout entier naturel n :

un>A3n+4>An>A43.

Par conséquent, quel que soit le réel A, il existe toujours un entier n à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l'intervalle ]A;+[.

Donc :

limn+un=+

Suite divergente vers

(un) tend vers quand n tend vers + si et seulement si pour tout réel A (aussi petit que l'on veut), tous les termes un sont inférieurs à A à partir d'un certain rang. On note :

limn+un=

Considérons la suite définie pour tout entier naturel n par :

un=2n+5

Soit A un réel quelconque fixé. On a, pour tout entier naturel n :

un<A2n+5<An>5A2

Par conséquent, quel que soit le réel A, il existe toujours un entier n à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l'intervalle ];A[.

Donc :

limn+un=

B

Les suites convergentes

Suite convergente

La suite (un) est convergente si et seulement si elle admet une limite finie.

Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel non nul n par :

un=1n

On a :

limn+1n=0

Donc (un) est convergente.

Suite convergente bornée

Toute suite convergente est bornée.

Suite divergente

La suite (un) est divergente si et seulement si elle n'est pas convergente, c'est-à-dire si sa limite est + ou ou si elle n'admet pas de limite.

Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n par :

un=(1)n

La suite (un) étant alternée (elle prend successivement les valeurs 1, −1, 1, −1, etc.), elle n'admet pas de limite. Elle est divergente.

Limite d'une suite géométrique

Soit un réel q :

  • Si 1<q<1, alors la suite (qn) a pour limite 0.
  • Si 1<q, alors la suite (qn) a pour limite +.
  • Si q1, alors la suite (qn) n'admet pas de limite.
  • Si q=1, alors la suite (qn) a pour limite 1.

limn+(14)n=0

limn+5n=+

C

Opérations sur les limites

Dans cette sous-partie, L et L' désignent des réels.

Limite d'une somme

Si (un) a pour limiteLLL++
et si (vn) a pour limiteL++
alors (un+vn) a pour limiteL+L++?

Limite d'un produit

Si (un) a pour limiteLL>0L>0L<0L<0++0
et si (vn) a pour limiteL++++ ou
alors (un×vn) a pour limiteL×L++++?

Le symbole "?" signifie qu'il s'agit d'une forme indéterminée.

Limite d'un quotient

Cas 1

Si la limite de (vn) n'est pas nulle

Si (un) a pour limiteLL++

+ ou

et si (vn) a pour limiteL0+ ou L>0L<0L>0L<0+ ou
alors (unvn) a pour limiteLL0++?
Cas 2

Si la limite de (vn) est nulle

Si (un) a pour limiteL>0 ou +

L>0 ou +

L<0 ou L<0 ou 0
et si (vn) a pour limite0 par valeurs positives0 par valeurs négatives0 par valeurs positives0 par valeurs négatives0
alors (unvn) a pour limite++?

Le symbole "?" signifie qu'il s'agit d'une forme indéterminée.

Il existe 4 formes indéterminées :

" + " ; " 0× " ; " " ; " 00 "

D

Comparaison et encadrement

Suite convergente et minorée

Soit une suite (un) convergente vers L et un réel m tels qu'à partir d'un certain rang mun, alors :

mL

Suite convergente et majorée

Soit une suite (un) convergente vers L et un réel M tels qu'à partir d'un certain rang unM, alors :

LM

Convergence et comparaison

Soient (un) et (vn) deux suites telles qu'à partir d'un certain rang, unvn. Si (un) converge vers le réel L et (vn) converge vers le réel L, alors :

LL

Théorème de comparaison

Soient (un) et (vn) deux suites telles qu'à partir d'un certain rang, unvn :

  • Si limn+un=+, alors limn+vn=+
  • Si limn+vn=, alors limn+un=

Considérons une suite (un) telle que pour tout entier naturel n :

un3n2+6

On a :

limn+(3n2+6)=+

Donc par comparaison :

limn+un=+

Théorème des gendarmes ou d'encadrement

Soient (un), (vn) et (wn) trois suites et soit un entier naturel p.

Si :

  • unvnwn pour tout entier n plus grand que p
  • (un) et (wn) convergent vers le même réel L

Alors (vn) converge également vers L.

Considérons une suite (un) telle que pour tout entier naturel n :

1nun1n

On a ;

  • limn+(1n)=0
  • limn(1n)=0

Donc, d'après le théorème des gendarmes, limn+un=0.

E

Limite monotone

Convergence (ou limite) monotone

  • Si une suite est croissante et majorée, alors elle est convergente.
  • Si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente.

Considérons une suite (un) telle que pour tout entier naturel n :

3unun+14

Cette suite est croissante et majorée par 4, donc elle converge vers un réel L4.

Suites divergentes

  • Toute suite croissante et non majorée diverge vers +.
  • Toute suite décroissante et non minorée diverge vers .
III

Le raisonnement par récurrence

Raisonnement par récurrence

Pour démontrer par récurrence qu'une propriété est vraie, pour tout entier naturel n à partir du rang k, on procède en trois étapes.

Etape 1

Initialisation

On vérifie que la propriété est vérifiée au premier rang k.

Etape 2

Hérédité

On montre que si la propriété est vérifiée à un certain rang p (pk), elle est alors vérifiée au rang suivant p+1.

Etape 3

Conclusion

La propriété étant initialisée et héréditaire, est alors vraie pour tout entier naturel supérieur ou égal à k.

Considérons la suite (un) définie par son premier terme u0=3 et par, pour tout entier naturel n :

un+1=5un8

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, un3.

Etape 1

Initialisation

On a u0=3

Ainsi, u03, donc la propriété est vraie au rang 0.

Etape 2

Hérédité

Soit un entier naturel p. On suppose que la propriété est vraie au rang p (c'est-à-dire que up3 ). Montrons qu'alors elle est également vraie au rang p+1 (c'est-à-dire que up+13 )

On a :

up3

Soit :

5up15

5up87

Ou encore :

up+17

On a donc bien :

up+13

La proposition est donc héréditaire.

Etape 3

Conclusion

La propriété est initialisée et héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel. Ainsi, pour tout entier naturel n :

un3

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