Soit (u_n) la suite définie par son premier terme u_0 et, pour tout entier naturel n, par la relation u_{n+1} = au_{n} + b ( a et b réels non nuls tels que a ≠ 1 ). On considère la suite v_n définie pour tout entier naturel n par la relation v_n=u_n-\dfrac{b}{1-a}.
Quelle est la nature de la suite (v_n) ?
On a pour tout naturel n, v_{n+1}=u_{n+1}-\dfrac{b}{1-a} = au_{n}+b-\dfrac{b}{1-a}\\v_{n+1}= au_{n}+\dfrac{b\left(1 - a\right)-b}{1-a}\\v_{n+1}= au_{n}-\dfrac{ab}{1-a}\\\\v_{n+1}= a\left[ u_{n}-\dfrac{b}{1-a} \right]\\v_{n+1} = av_{n}
L'égalité v_{n+1} = av_{n}, vraie pour tout naturel n montre que la suite (v_n) est géométrique de raison a.
si a appartient à l'intervalle \left] -1 ; 1\right[, quelle est alors la limite de la suite (u_n) ?
On sait que v_n = v_0×a^{n}.
Or si a∈]-1 ; 1[, \lim\limits_{n\to +\infty}a_{}^{n}=0
Donc \lim\limits_{n\to +\infty}v_{n}=0
ou \lim\limits_{n\to +\infty}\left(u_{n}-\dfrac{b}{1-a}\right)=0
C'est-à-dire \lim\limits_{n\to +\infty}u_{n}=\dfrac{b}{1-a}.
En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants.
Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante.
Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?
Après la taille initiale, la plante mesure 80\times\left( 1-\dfrac{1}{4} \right) = 80\times\dfrac{3}{4} = 60 \text{ cm}.
Au bout de 1 an elle a poussé de 30 cm.
Elle mesurera donc en mars 2016 avant la taille 60 + 30 = 90 \text{ cm}.
Pour tout entier naturel n, on note h_{n} la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année \left(2\ 015 + n\right).
Soit n\in\mathbb{N}.
Quelle expression de h_{n+1} en fonction de h_n convient ?
D'une année sur l'autre, tailler ou retirer le quart revient à multiplier par \dfrac{3}{4} soit 0,75.
La pousse annuelle est de 30 cm.
Donc h_{n+1}=0{,}75h_{n}+30, quelque soit l'entier naturel \left(n\right).
Quel est le sens de variation de la suite (h_{n}) ?
Mars 2015 correspondant à n = 0, on a h_0 = 80 ;
h_1 = 90, h_2 =0{,}75×90 + 30 = 67{,}5 + 30 = 97{,}5 : la suite semble être croissante.
Pour tout entier naturel n, notons \mathcal{P}_n la proposition "h_n<h_{n+1}".
Montrons, par récurrence sur n, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation
On sait déjà que h_0 \lt h_1.
\mathcal{P_0} est donc vraie.
La propriété est initialisée au rang n=0.
Hérédité
Soit p un entier naturel quelconque.
Supposons que \mathcal{P}_p soit vraie, c'est-à-dire : h_p \lt h_{p+1} .
Montrons qu'alors \mathcal{P_{p+1}} est vraie, c'est-à-dire : h_{p+1}<h_{p+2}.
Par hypothèse de récurrence, on a :
h_p<h_{p+1}.
Alors 0{,}75h_p \lt 0{,}75h_{p+1} ce qui équivaut à 0{,}75h_p + 30 \lt 0{,}75h_{p+1} + 30.
Donc h_{p+1} \lt h_{p+2} .
\mathcal{P_{p+1}} est vraie.
La propriété est héréditaire à partir du rang 0.
Conclusion
\mathcal{P_n} est initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0.
Elle est donc vraie pour tout entier naturel n.
On a donc démontré que pour tout naturel n, h_n \lt h_{n+1} .
La suite \left(h_n\right) est strictement croissante.
Si la suite (h_{n}) est convergente, quelle est sa limite ?
On a, pour tout entier naturel n, h_{n+1}=ah_n+b, avec a=0{,}75 et b=30.
-1<a<1
D'après la partie I, la suite \left(h_n\right) admet donc pour limite \dfrac{b}{1-a}.
La suite \left(h_n\right) converge vers \dfrac{b}{1-a} = \dfrac{30}{1-0{,}75} = 120.