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Etude d'un cas concret à l'aide d'une suite Exercice type bac

Difficulté
>20 MIN
1 / 3

Soit (\(\displaystyle{u_n}\)) la suite définie par son premier terme \(\displaystyle{u_0}\) et, pour tout entier naturel n, par la relation \(\displaystyle{u_{n+1} = au_{n} + b}\) (\(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) réels non nuls tels que \(\displaystyle{a ≠ 1}\) ). On considère la suite \(\displaystyle{v_n}\) définie pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) par la relation \(\displaystyle{v_n=u_n-\dfrac{b}{1-a}}\).

1

Démontrer que la suite (\(\displaystyle{v_n}\)) est géométrique de raison \(\displaystyle{a}\).

2

En déduire que si \(\displaystyle{a}\) appartient à l'intervalle \(\displaystyle{\left] −1 ; 1\right[}\), alors la suite (\(\displaystyle{u_n}\)) a pour limite \(\displaystyle{\dfrac{b}{1-a}}\).

3

Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?

4

Pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\), on note \(\displaystyle{h_{n}}\) la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année \(\displaystyle{\left(2\ 015 + n\right)}\).

a

Justifier que, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{h_{n+1} = 0,75h_{n} + 30}\).

b

Conjecturer à l'aide de la calculatrice le sens de variation de la suite (\(\displaystyle{h_{n}}\)).

Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).

c

La suite (\(\displaystyle{h_{n}}\)) est-elle convergente ? Justifier la réponse.

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