Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :
- en 2010, la population compte 90 millions de ruraux et 30 millions de citadins ;
- chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville ;
- chaque année, 5 % des citadins émigrent en zone rurale.
Pour tout entier naturel n, on note :
- u_n la population en zone rurale, en l'année 2\ 010 + n, exprimée en millions d'habitants ;
- v_n la population en ville, en l'année 2\ 010 + n, exprimée en millions d'habitants.
On a donc u_0 = 90 et v_0 = 30.
Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant u_n et v_n.
La population totale est constante et égale à 120 millions donc, pour tout entier naturel n, on peut dire que u_n + v_n = 120.
On utilise un tableur pour visualiser l'évolution des suites (u_n) et (v_n).
Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettant d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous :
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | n | Population en zone rurale | Population en ville |
| 2 | 0 | 90 | 30 |
| 3 | 1 | 82,5 | 37,5 |
| 4 | 2 | 76,125 | 43,875 |
| 5 | 3 | 70,706 | 49,294 |
| 6 | 4 | 66,100 | 53,900 |
| 7 | 5 | 62,185 | 57,815 |
| 8 | 6 | 58,857 | 61,143 |
| 9 | 7 | 56,029 | 63,971 |
| 10 | 8 | 53,625 | 66,375 |
| 11 | 9 | 51,581 | 68,419 |
| 12 | 10 | 49,844 | 70,156 |
| 13 | 11 | 48,367 | 71,633 |
| 14 | 12 | 47,112 | 72,888 |
| 15 | 13 | 46,045 | 73,955 |
| 16 | 14 | 45,138 | 74,862 |
| 17 | 15 | 44,368 | 75,632 |
| 18 | 16 | 43,713 | 76,287 |
| 19 | 17 | 43,156 | 76,844 |
| 20 | 18 | 42,682 | 77,318 |
| 21 | 19 | 42,280 | 77,720 |
| 22 | 20 | 41,938 | 78,062 |
| ... | ... | ... | |
| 59 | 57 | 40,005 | 79,995 |
| 60 | 58 | 40,004 | 79,996 |
| 61 | 59 | 40,003 | 79,997 |
| 62 | 60 | 40,003 | 79,997 |
| 63 | 61 | 40,002 | 79,998 |
On utilise un tableur pour visualiser l'évolution des suites \left(u_n\right) et \left(v_n\right).
Dans B3 on entre la formule =0,9*B2+0,05*C2.
Dans C3 on entre la formule =0,1*B2+0,95*C2.
Quelles conjectures peut-on faire concernant l'évolution à long terme de cette population ?
D'après les données du tableur, le nombre de ruraux semble décroître et tendre vers 40 millions, et le nombre de citadins semble croître et tendre vers 80 millions.
Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3) de la partie A.
Pour tout entier naturel n, w_n = 50×0{,}85^n donc w_n \gt 0 et w_{n+1} = 0{,}85w_n \lt w_n et donc la suite (w_n) est décroissante.
Comme pour tout n, u_n = w_n + 40, la suite (u_n) est décroissante.
(w_n) est géométrique de raison 0,85.
Or -1 \lt 0{,}85 \lt 1 donc la suite (w_n) converge vers 0.
Comme pour tout n, u_n = w_n + 40, la suite (u_n) converge bien vers 40.
Pour tout entier naturel n, v_n = 120 - u_n et la suite (u_n) est décroissante, donc la suite (v_n) est bien croissante.
La suite (u_n) est convergente vers 40 et, pour tout n, v_n = 120 - u_n, donc la suite (v_n) est convergente vers : 120 - 40 = 80.
Pour tout n, v_n = 120 - u_n, donc la suite (v_n) est convergente vers : 120 - 40 = 80.