Calculer la dérivée seconde de plusieurs opérations de fonctions usuelles Exercice

La fonction f est de la forme \dfrac{u}{v} avec :
u(x) = x + 1
et v(x) = x^{2}

Ainsi :
f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

Or :
u'(x) = 1

Et : 
v'(x) = 2 x

Donc :
f'(x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2 \left(x + 1\right)}{x^{3}}

Et en dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( \frac{1}{x^{2}} - \frac{2 \left(x + 1\right)}{x^{3}} \right)'
f''(x) = \frac{2 \left(-2 + \frac{3 \left(x + 1\right)}{x}\right)}{x^{3}}

La fonction x \mapsto \frac{2 \left(-2 + \frac{3 \left(x + 1\right)}{x}\right)}{x^{3}} est définie sur \mathbb{R}^* , donc le domaine de la dérivée seconde de f est \mathbb{R}^* .

La fonction f est de la forme u \times v avec :
u(x) = 2 x + 3
et v(x) = 2 - x

Ainsi :
f' = u'v + uv'

Or :
u'(x) = 2
et
v'(x) = -1

Donc :
f'(x) = 1 - 4 x

Et en dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( 1 - 4 x \right)'
f''(x) = -4

La fonction x \mapsto -4 est définie sur \mathbb{R} , donc le domaine de la dérivée seconde de f est \mathbb{R} .

La fonction f est de la forme \dfrac{u}{v} avec :
u(x) = \sqrt{x}
et v(x) = x

Ainsi :
f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

Or :
u'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}
et
v'(x) = 1

Donc :
f'(x) = - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}

Et en dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} \right)'
f''(x) = \frac{3}{4 x^{\frac{5}{2}}}

La fonction x \mapsto \frac{3}{4 x^{\frac{5}{2}}} est définie sur \mathbb{R} , donc le domaine de la dérivée seconde de f est \mathbb{R} .

La fonction f est de la forme u \times v avec :
u(x) = e^{x}
et v(x) = \cos{\left(x \right)}

Ainsi :
f' = u'v + uv'

Or :
u'(x) = e^{x}
et
v'(x) = - \sin{\left(x \right)}

Donc :
f'(x) = - e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}

Et en dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( - e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} \right)'
f''(x) = - 2 e^{x} \sin{\left(x \right)}

La fonction x \mapsto - 2 e^{x} \sin{\left(x \right)} est définie sur \mathbb{R} , donc le domaine de la dérivée seconde de f est \mathbb{R} .

La fonction f est de la forme u + v avec :
u(x) = \sin{\left(x \right)}
et v(x) = \frac{1}{x^{2}}

Ainsi : 
f' = u' + v'

Or :
u'(x) = \cos{\left(x \right)}
et
v'(x) = - \frac{2}{x^{3}}

Donc :
f'(x) = \cos{\left(x \right)} - \frac{2}{x^{3}}

Et en dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( \cos{\left(x \right)} - \frac{2}{x^{3}} \right)'
f''(x) = - \sin{\left(x \right)} + \frac{6}{x^{4}}

La fonction x \mapsto - \sin{\left(x \right)} + \frac{6}{x^{4}} est définie sur \mathbb{R} , donc le domaine de la dérivée seconde de f est \mathbb{R} .